Задача 2
На отрезке [0;1] наудачу
ставятся две точки. Пусть
координаты первой точки, а
- второй точки. Рассматриваются следующие
события: А={вторая точка ближе к левому
концу отрезка, чем первая точка к
правому}; B={корни уравнения
действительны}; С={max(,)0,5};
D={min(,)0,5}.
Привести соответствующие рисунки и
найти
.
Будем рассматривать точки в двумерном декартовом пространстве. Пусть будет независимой переменной. Представим события А, В, С и D в виде неравенств.
Событие А будет происходить, если
.
Событие В будет происходить, если дискриминант уравнения будет больше, либо равен нулю, т.е.
.
Событие С будет происходить, если
.
Событие D будет происходить, если
На рисунке 2.1 графически представлены множества исходов, благоприятствующих вышеназванным событиям.
|
|
|
|
Рисунок 2.1 a) событие А; б) событие В; в) событие С; г) событие D. |
|
a)
б)
в)
г)
Теперь найдем
множество
,
накладывая соответствующие области
согласно операциям над множествами.
Очевидно, что множество вырождается в
точку, т.е. вероятность
.
Аналогично поступаем
с множеством
.
На этот раз определенное множество.
Найдем площадь фигуры, которая очерчивает
границы множества.
Тогда согласно определению геометрической вероятности [2, стр. 27]
Здесь
- это площадь квадрата, ограничивающего
генеральную совокупность исходов.
|
|
а)
Событие
|
б) Событие
|
Рисунок 2.2 |
|
В приложении А приведён листинг программы, производящей экспериментальный подсчет вероятностей указанных событий.
Задача 3
В окружность радиусом
1 с центром в начале координат наугад
бросается точка с координатами (,).
Какова вероятность того, что парабола
пересечет обе оси координат.
Как и в задаче 2 поставим координату точки в зависимость от координаты . В этом случае необходимо найти такую функцию =(), которая очерчивала бы такое множество, попадая в которое парабола из условия пересекала бы обе оси координат. Также по условию видно, что значения и должны быть такими, чтобы неравенство
было верным.
Рассмотрим теперь параболу. Совершенно очевидно, что парабола пересекает ось ординат всегда. Ось абсцисс парабола пересекает, если уравнение
(3.1)
имеет по крайней мере один действительный корень, т.е. дискриминант больше либо равен нулю.
Тогда запишем
Таким образом, чтобы парабола пересекала обе оси должны выполняться следующие неравенства
(3.2)
Построим окружность радиусом 1 с центом в начале координат и две границы области, определяемых функциями
Подставляя произвольные точки, выделим части, в которых выполняется условие (3.2). На рисунке 3.1 показаны области, в которых выполняется условие (3.2).
Переходя в параметрическую систему координат, найдем площади данных секторов
Тогда по определению геометрической вероятности
Рисунок 3.1 Генеральная совокупность исходов
В приложении А приведён листинг программы, производящей экспериментальные подсчёт указанной вероятности.