16.3. Расчет оптимальных режимов резания методом линейного программирования

В основе оптимизации режимов резания методом линейного программирования лежит построение математической модели, которая включает совокупность технических ограничений, приведенных к линейному виду логарифмированием, и упрощенный вид целевой функции. Для решения этой задачи на ЭВМ могут быть использованы различные численные методы (метод перебора, симплекс-метод и др.), а также графический метод, наглядно представляющий математическую модель процесса резания.

Следует отметить, что качество математической модели процесса резания металлов, и в первую очередь ее достоверность, зависит от выбора технических ограничений, которые в наибольшей степени определяют описываемый процесс. Наиболее важными ограничениями являются следующие: режущие возможности инструмента; мощность электродвигателя привода главного движения; заданная производительность станка; наименьшая и наибольшая скорости резания и подача, допускаемые кинематикой станка; прочность и жесткость режущего инструмента; точность обработки; шероховатость обработанной поверхности.

Рассмотрим особенности построения технических ограничений для наиболее распространенных методов обработки - продольного наружного точения и фрезерования торцовыми и цилиндрическими фрезами.

Ограничение 1. Режущие возможности инструмента. Это ограничение устанавливает связь между скоростью резания, определяемой принятой стойкостью инструмента, его геометрией, глубиной резания, подачей и механическими свойствами обрабатываемого материала, с одной стороны, и скоростью резания, определяемой кинематикой станка, с другой.

Скорость резания для различных видов обработки определяется по формуле:

где С_v - постоянный коэффициент, характеризующий нормативные условия обработки; D – диаметр обрабатываемой детали (или инструмента); k_v - поправочный коэффициент, учитывающий качество обрабатываемого материала, состояние поверхности заготовки, характеристику режущего инструмента; Т - принятая стойкость инструмента, мин; m - показатель относительной стойкости; t - глубина резания, мм; s - подача, мм/об, мм/мин; z - число зубьев режущего инструмента; Вф - ширина фрезерования, мм; x_v, y_v, u_v, z_v, r_v - показатели степеней или переменных в формуле скорости резания.

С другой стороны, скорость резания определяется кинематикой станка согласно зависимости

Это техническое ограничение достаточно просто приводится к виду, описывающему конкретный вид обработки. Так, для продольного наружного точения можно получить, имея в виду значения коэффициентов z_v =0, u_v=0, r_v=0, следующее неравенство:

Ограничение 2. Мощность электродвигателя главного движения станка. Этим ограничением устанавливается взаимосвязь между эффективной мощностью, затрачиваемой на процесс резания, и мощностью электропривода главного движения станка. Эффективная мощность, затрачиваемая на процесс резания при различных видах обработки, определяется по формуле

где С_z - постоянный коэффициент, характеризующий условия обработки; k_z - общий поправочный коэффициент на мощность, учитывающий изменение условий обработки против нормативных; k_cz. - поправочный коэффициент, учитывающий отдельный вид обработки;

Учитывая необходимое условие протекания процесса резания, можно получить следующее неравенство:

где N_n - мощность электродвигателя главного привода станка, кВт;h - КПД механизма передачи от электродвигателя к инструменту.

Второе техническое ограничение в виде неравенства

Ограничение 3. Заданная производительность станка. Этим ограничением устанавливается связь расчетных скорости резания и подачи с заданной производительностью станка. Исходя из соотношения продолжительности цикла работы станка Тц, основного технологического tо и вспомогательного непрерывного tвн времени, можно получить выражение для третьего технического ограничения:

где К - заданная производительность станка, шт/мин; Кз - коэффициент загрузки станка; r_R - число деталей, обрабатываемых одновременно на одной позиции: L - длина рабочего хода инструмента, мм.

Ограничения 4 и 5. Наименьшая и наибольшая допустимые скорости резания. Эти ограничения устанавливают взаимосвязь расчетной скорости резания с кинематикой станка по минимуму и максимуму. Они записываются в следующем виде:

Ограничения 6 и 7. Наименьшая и наибольшая допустимые подачи. Эти ограничения аналогично двум предыдущим устанавливают взаимосвязь расчетной подачи с подачей, допустимой кинематикой станка по минимуму

и максимуму

Ограничение 8. Требуемая шероховатость поверхности. Это ограничение устанавливает взаимосвязь расчетных скорости резания и подачи с допустимыми по требуемой высоте или форме шероховатости.

Известно, что выбор скорости резания и особенно подачи при получистовой и чистовой обработке очень часто определяется требуемой шероховатостью поверхности. В основу этого ограничения могут быть положены многочисленные экспериментальные зависимости для различных характеристик шероховатости поверхности R (Ra, Rz, Rmax), шага микронеровности Sm, величины опорной поверхности tр, которые представляются в виде следующих выражений мультипликативного типа:

где j₁, j, r - параметры геометрии режущей части инструмента;

k₁, k₂, ….k_{7 -} экспериментально установленные коэффициенты. После преобразования с учетом обеспечения требуемого значения шероховатости получают техническое ограничение также в виде неравенства

Знак данного неравенства определяется видом характеристики шероховатости. В тех случаях, когда требуется одновременно обеспечить несколько характеристик шероховатости, рассматриваемое техническое ограничение представляется в виде нескольких неравенств. Так, для обеспечения при наружном продольном точении заготовки из стали 45 шероховатости Ra и шага микронеровностей Sm могут быть использованы для построения технических ограничений следующие зависимости:

где g - передний угол резца.

Выбранные и описанные выше технические ограничения, отражающие с определенной степенью точности физический процесс резания в совокупности с критерием оптимальности, образуют математическую модель процесса резания.

При определении режимов резания широкое применение для двух элементов n и s имеет метод линейного программирования, общая задача которого состоит в определении неотрицательных значений переменных, удовлетворяющих системе ограничений в виде линейных равенств и неравенств и обеспечивающих наибольшее или наименьшее значение некоторой линейной функции - критерия оптимальности.

Таким образом, первая задача, которая должна быть решена, - это приведение всех технических ограничений и оценочной функции к линейному виду. Для примера рассмотрим приведение к линейному виду первого технического ограничения методом логарифмирования:

Введя обозначения ln n=x₁, ln (100s)=x₂

следовательно:

Аналогично могут быть получены в линейном виде зависимости для других технических ограничений.

Преобразование технических ограничений к линейному виду и представление их в виде системы неравенств в совокупности с оценочной функцией дает математическую модель процесса резания металлов

Применительно к математической модели задача определения оптимального режима резания сводится к отысканию среди всевозможных неотрицательных значений x₁ и x₂ системы таких значений x_1опт и х_2опт, при которых линейная функция принимает максимальное значение f_0max.

Математическая модель процесса резания может быть изображена в графическом виде (рис.16.1)

Рис.16.1 Графическое изображение процесса резания

. В этом случае каждое техническое ограничение представляется граничной прямой, которая определяет полуплоскость, где возможно существование решений системы неравенств.

Теория линейного программирования показывает, что экстремальное значение оценочной функции (при выпуклом многоугольнике решений) обеспечивается для x₁ и x₂, находящихся в точке, лежащей на одной из граничных прямых или их пересечении.

Поэтому задача отыскания оптимальных значений х_1опт и х_2опт сводится к последовательному вычислению координат всех возможных точек пересечения граничных прямых и затем определению для них наибольшей суммы

f=(x₁+x₂)_max.

После определения координат х_1опт и х_2опт вычисляют оптимальные значения элементов режима резания по формулам:

n_опт=exp(x_1опт): s_опт=exp(x_2опт)/100

Для определения оптимального решения задачи, заданной системой линейных уравнений и неравенств, обычно используется метод полного перебора точек, образующих выпуклый многоугольник возможных решений. Определяются попарно точки пересечения прямых и подставляются координаты этих точек в неравенства системы. Точка, координаты которой удовлетворяют всем без исключения прямым (проверка на совместимость системы уравнений) и одновременно сумма координат которой (х₁+х₂) является наибольшей, и будет точкой оптимума.

Последовательность решения задачи следующая.

1. Рассматривается пара прямых и производится их проверка на параллельность.

2. Если прямые параллельны, то рассматривается следующая пара, а если нет, то определяются координаты х₁ и х₂ точки их пересечения.

3. Проверяются знаки координат. Если координаты положительны, то путем подстановки в каждое из неравенств найденных значений х₁ и х₂ определяют, находится ли точка в области возможных решений. Если хотя бы одно из неравенств не удовлетворяется, то эта точка отбрасывается и проводится такой же анализ следующей пары.

4. Если х₁ и х₂ положительны и удовлетворяют всем без исключения неравенствам, то определяется сумма координат t₀=x₁+x₂ и запоминается в виде некоторого значения A. Все вышеописанные действия производятся до тех пор, пока не будут рассмотрены все пары прямых.

5. В случае противоречивости исходных данных может оказаться, что области возможных решений нет. Признаком несовместности системы является равенство нулю величины A, которая в противном случае равна сумме координат x₁+x₂, являющихся решением задачи.