Принцип эквивалентности для циклических процессов

Р

P_атм

ассмотрим циклический процесс, который совершается с помощью устройства, схема которого приведена на рис.2. Оно состоит из поршня с цилиндром, который погружен в термостат с водой. Предположим, что в цилиндре находится один моль идеального газа. Температуру воды можно очень плавно без резких скачков повышать или понижать, используя нагревательные или охладительные устройства.

P_внеш = Р_г

P_атм

Т₂ V₂ P₂

P_внеш = Р_г

Т₁ V₁ P₁

Источник теплоты

Холодильные устройства

Рис.2 Схема устройства теплоты и работы в циклическом процессе

Источник теплоты и холодильный элемент устроены таким образом, что позволяют точно определять количество теплоты, которая подводится к системе (газ + вода в термостате) и отводится от системы. Вода в термостате постоянно перемешивается мешалкой, чтобы исключить перепады температуры в разных частях термостата. Только в этом случае температура Т₁ будет иметь смысл физического параметра в целом для воды в термостате и для газа в цилиндре.

Условимся также, что между поршнем и цилиндром отсутствуют силы трения.

С помощью термостата будем медленно нагревать воду. Через некоторый промежуток времени объем газа увеличиться с V₁ до V₂ с одновременным повышением температуры с Т₁ до Т₂^*. При этом будет произведена объемная работа по преодолению внешних сил.

(6)

Из сущности процесса следует, что Р_внеш равно давлению газа, Р_внеш = Р_г.

Из сравнения объемной работы, вычисляемой по уравнению () с теплотой, подведенной к системе, можно обнаружить, что последняя величина превышает полученную работу, Q > W. Это несовпадение, очевидно, связано с повышением температуры газа и воды в термостате с Т₁ до Т₂.

Под действием теплоты изменяется состояние газа и воды в термостате и на это затрачивается часть теплоты (в следующем разделе будет показано, что теплота расходуется на увеличение внутренней энергии газа и воды в термостате). Проведем процесс в обратном направлении. Для этого соединим систему с холодильником, температура которого несколько ниже температуры системы Т₁. В этом случае под действием внешнего давления при минимальном градиенте температур между холодильником и системой на каждом этапе охлаждения, совершается работа сжатия газа

(7)

________________________

*При постоянном давлении имеем

Температура возрастает во столько же раз во сколько увеличивается объем

и постепенное понижение температуры с Т₂ до Т₁. Холодильное устройство полностью поглощает теплоту, выделяющуюся при совершении работы сжатия. Очевидно также, что при условии Р_внеш = Р_г работа сжатия, взятая с обратным знаком, равна работе расширения. Поэтому для проведенного циклического процесса можно написать

(8)

где символы «1→2» и «2→1» обозначают процессы в прямом и обратном направлениях.

В соотношении (8) слагаемые, связанные с изменениями состояния системы в 1→2 и 2→1процессах взаимно погашаются, что и обеспечивает выполнимость закона эквивалентности.

Взаимная компенсация энергетических изменений в системе возможна только в циклических процессах и это обстоятельство объясняет, почему закон эквивалентности в общем случае выполняется только для циклических процессов.

Для произвольного циклического процесса имеем

В уравнении () – сумма всех работ, которые совершает система, и которые совершаются средой над системой. Аналогично, – сумма теплот, которые переходят от внешней среды к системе и от системы к внешней среде.

Закон эквивалентности справедлив для любых процессов, поскольку в его основе лежит закон сохранения энергии, которой, в форме теплоты и работы, обмениваются между собой система и окружающая среда. Действительно, пусть система (в рассмотренном случае идеальный газ + вода в термостате) в конце циклического процесса не вернулась в исходное состояние. Иными словами, температура системы или какой-то другой параметр, связанный с работой допустим давление, имели значение более высокое, чем в начале процесса. Это означает, что система в результате циклического процесса накопила избыточную энергию, возникшую из ничего. Не согласуется с законом сохранения энергии предположение, что параметры системы в конце циклического процесса ниже, чем в исходном состоянии. В этом случае в окружающую среду поступает больше энергии, также возникшей из ничего. Поэтому единственное заключение, которое можно сделать из этих рассуждений, состоит в том, что система в любом циклическом процессе возвращается в исходное состояние.

Теперь предположим, что . Из этого следует, что в циклическом процессе получено дополнительное количество теплоты, источники которой неизвестны. Другими словами она создается, что противоречит закону сохранения энергии. Неравенство означает, что избыточная работа совершается за счет энергии не существующего источника, что также не согласуется с законом сохранения энергии. Из проведенного рассмотрения следует, что для произвольного циклического процесса работа эквивалентна теплоте, поскольку только это соотношение находится в согласии с законом сохранения энергии.

Процессы, которые использовали Майер и Джоуль для определения механического эквивалента теплоты, естественно, удовлетворяли условию цикличности. В описанном выше опыте Джоуля (рис.1) он состоял из двух стадий: стадии, где совершается работа над системой падающим грузом, и стадии теплоотдачи при охлаждении системы до первоначальной температуры. Количество выделяющейся в окружающую среду теплоты при охлаждении системы Джоуль определял по градуировочному графику.