24 Вопрос: Работа по перемещению заряда в электрическом поле. Потенциал

Рассмотрим однородное электрическое поле, в котором заряд + q перемещается из точки 1 с координатой , в точку 2 с координатой под действием кулоновской силы вдоль линии напряженности (рис.1.6).

Работа этой силы (1.12)

где . При перемещении заряда между этими же точками по любой криволинейной траектории будет совершена такая же работа. Работа перемещения заряда в электростатическом поле не зависит от формы траектории движения заряда, а зависит от положения в этом поле начальной и конечной точек перемещения. Поля, обладающие таким свойством, называются потенциальными, т.е. электростатические поля являются потенциальными. Перенесем теперь тот же заряд из точки 2 в точку 1. Так как теперь сила направлена против перемещения, то работа                                (1.13) Суммарная же работа перемещения заряда по замкнутой траектории будет равна нулю:                            (1.14) Согласно закону сохранения энергии работа перемещения заряда ^ в электростатическом поле равна изменению его потенциальной энергии, взятому со знаком минус. Связано это с тем, что при совершении полем положительной работы потенциальная энергия уменьшается, а при совершении отрицательной работы -увеличивается:                         (1.15) где  - потенциальные энергии заряда q в точках 1 и 2. С другой стороны, работа              (1.16) где Е ~ напряженность поля, а , и  - координаты точек поля 1 и 2. Из (1.15) и (1.16) следует:                         (1.17) Таким образом, величина потенциальной энергии заряда в электростатическом поле .             (1.18) Разные заряды в точке с координатой х обладают разной потенциальной энергией. Однако, отношение значения потенциальной энергии к величине соответствующего заряда есть величина постоянная, равная величине потенциальной энергии единичного заряда, находящегося в данной точке поля. Эта величина называется потенциалом поля в данной точке:                                               (1.19)

25 вопрос: Потенциальная энергия заряда в электрическом поле. Работу, совершаемую силами электрического поля при перемещении положительного точечного заряда q из положения 1 в положение 2, представим как изменение потенциальной энергии этого заряда:

,

где W_п1 и W_п2 – потенциальные энергии заряда q в положениях 1 и 2. При малом перемещении заряда q в поле, создаваемом положительным точечным зарядом Q, изменение потенциальной энергии равно

.

При конечном перемещении заряда q из положения 1 в положение 2, находящиеся на расстояниях r₁ и r₂ от заряда Q,

.

Если поле создано системой точечных зарядов Q₁, Q₂,¼, Q_n, то изменение потенциальной энергии заряда q в этом поле:

.

Приведённые формулы позволяют найти только изменение потенциальной энергии точечного заряда q, а не саму потенциальную энергию. Для определения потенциальной энергии необходимо условиться, в какой точке поля считать ее равной нулю. Для потенциальной энергии точечного заряда q, находящегося в электрическом поле, созданном другим точечным зарядом Q, получим

,

где C – произвольная постоянная. Пусть потенциальная энергия равна нулю на бесконечно большом расстоянии от заряда Q (при r ® ¥), тогда постоянная C = 0 и предыдущее выражение принимает вид

.

При этом потенциальная энергия определяется как работа перемещения заряда силами поля из данной точки в бесконечно удаленную. В случае электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, потенциальная энергия заряда q:

.

Потенциальная энергия системы точечных зарядов. В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Q_i (i = 1, 2, ... , n). Энергия взаимодействия всех n зарядов определится соотношением

,

где r_ij - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.

Потенциал электростатического поля. Поле консервативной силы может быть описано не только векторной функцией, но эквивалентное описание этого поля можно получить, определив в каждой его точке подходящую скалярную величину. Для электростатического поля такой величиной является потенциал электростатического поля, определяемый как отношение потенциальной энергии пробного заряда q к величине этого заряда, j = W_п / q, откуда следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).

Потенциал поля точечного заряда Q в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью e :

.

Принцип суперпозиции. Потенциал есть скалярная функция, для неё справедлив принцип суперпозиции. Так для потенциала поля системы точечных зарядов Q_1, Q₂¼, Q_n имеем

,

где r_i - расстояние от точки поля, обладающей потенциалом j, до заряда Q_i. Если заряд произвольным образом распределен в пространстве, то

,

где r - расстояние от элементарного объема dx, dy, dz до точки (x, y, z), где определяется потенциал; V - объем пространства, в котором распределен заряд.

Потенциал и работа сил электрического поля. Основываясь на определении потенциала, можно показать, что работа сил электрического поля при перемещении точечного заряда q из одной точки поля в другую равна произведению величины этого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках пути, A = q (j₁ - j₂). Если по аналогии с потенциальной энергией считать, что в точках, бесконечно удалённых от электрических зарядов - источников поля, потенциал равен нулю, то работу сил электрического поля при перемещении заряда q из точки 1 в бесконечность можно представить как A_¥ = q j₁. Таким образом, потенциал â данной точке электростатического поля - это физическая величина, численно равная работе, совершаемой силами электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из данной точки поля в бесконечно удаленную: j = A_¥ / q. В некоторых случаях потенциал электрического поля нагляднее определяется как физическая величина, численно равная работе внешних сил против сил электрического поля при перемещении единичного положительного точечного заряда из бесконечности в данную точку. Последнее определение удобно записать следующим образом:

.

В современной науке и технике, особенно при описании явлений, происходящих в микромире, часто используется единица работы и энергии, называемая электрон-вольтом (эВ). Это работа, совершаемая при перемещении заряда, равного заряду электрона, между двумя точками с разностью потенциалов 1 В: 1 эВ = 1,60×10^-19 Кл×1 В = 1,60×10^-19 Дж.