21. Понятие уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений.

Пусть f(x) и g(x) — 2 выражения с переменной и областью определения х, тогда высказывательная форма или предикат всегда f(x) = g(x), - уравнение с одной переменной.

Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство – корень уравнения или его решение. Решить уравнение — найти множество его корней.

Ур-ия равносильны, если множества их решений совпадают.

х*(х-1)*(х-3)=0

{0;1;3} <= неравносильное уравнение

(х-1)(х-2)(х-3)=0

{1;2;3} <= неравносильное уравнение

В процессе решения уравнения выполняются различные преобразования, в результате которых получаются новые уравнения.

Важно, чтобы при этом новые уравнения были равносильны данному уравнению, в противном случае можно либо получить посторонние корни, либо потерять корни.

Существуют теоремы о равносильности уравнений:

1. Если к обеим частям уравнения с областью определения х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим уравнение равносильное данному:

f(x) + h(x) = g(x) + h(x)

Следствие 1:

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному

Следствие 2:

Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.

2. Если обе части уравнения с областью определения х умножить на одно и то же выражение с переменной, которое определено на том же множестве и не обращается на нем в «0», то получится уравнение равносильное данному:

f(x) ∙ h(x) = g(x) ∙ h(x)

h(x) ≠ 0

Следствие:

Если обе части уравнения умножить/разделить на одно и то же число, отличное от «0», то получится уравнение равносильное данному.

22. Понятие отношения делимости. Делимость суммы, разности и произведения целых неотрицательных чисел.

Если натур число а делится без остатка на натур число b, то говорят, что число а кратно числу b (a кр. b), а число b явл. делителем числа а.

Отношение делимости обладает св-вами:

1. Рефлексивности (кратно самому себе)

2. Антисимм. (а кр. b, но b не кр. a)

3. Транзит. (a кр. b, b кр. c => a кр. c)

Существуют признаки делимости суммы, разности и произведения:

1) Если каждое слагаемое суммы делится на натур число, то и сумма делится на это число.

Если a кр. c, b кр. c, то (a+b) кр. с

2) Если число а и b кратны числу с, причем а больше или равно b, то разность чисел а и b так же кратно числу с.

3) • Если хотя бы 1 из множителей произв-ия делится на число, то и все произв. делится на это число.

• Если a кр. m, а b кр. n, то произведение чисел a и b кр. b и n.

23. Признаки делимости на числа 2, 3, 4, 5, 9 и 25 в десятичной системе счисления.

На 2: для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его запись оканчивалась одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8.

На 5: для того чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

На 4: для того чтобы число х делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы на 4 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами записи числа х.

На 9: для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его записи делилось на 9.

На 3: для того чтобы число х делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его записи делилась на 3.

Числа 72 522 312 483 1197 делится на 3

На 25:Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5