16. Понятие соответствия между элементами двух множеств. Способы задания соответствий. Соответствие обратное данному.

Соответствием между множествами Х и У наз. всякое подмножество декартова произведения множества Х на множество У.

Х={1,3,5}

У={2,4,6,8} R: «х > у»

R = {(3,2),(5,2),(5,4)}

Мы можем перечислить все пары элементов. Мы можем построить граф соответствия R.

1. .2

3. .4

5. .6

.8

Мы можем построить график

8 у

6

4 •

2 • •

1 3 5 х

Для любого соответствия можно построить соответствие, обратное данному.

Пусть S соответствие между множествами х и у. Тогда соответствие S^-1 между множествами у и х наз.обратным данному, если элемент у находится в соответствии с S^-1 в соответствии с элементом х, тогда и только тогда, когда элемент х находится в соответствии S с элементом у.

Граф обратный данному R^-1: «у<х» обратный порядок

17. Взаимно-однозначные соответствия. Равномощные множества.

ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНЫМИ называются соответствия, в которых каждому элементу множества х соответствует единственный элемент множества у, и каждый элемент множества у соответствует только одному элементу множества х.

Взаимно однозначные соответствия обладают рядом особенностей:

1)Если множество конечное, то взаимно однозначное соответствие можно установить лишь в том случае, если множество содержит одинаковое количество элементов.

2) Если множество бесконечное, то взаимно однозначное соответствие можно установить даже в том случае , если одно из множеств является подмножеством другого.

Например:

А – множество четных натуральных чисел

N – множество натуральных чисел

N

А Ϲ N A

Установим взаимно однозначное соответствие согласно порядковому номеру

R: «a=2n»

A: 2, 4, 6, 8 … 248 … 1094

N: 1, 2, 3, 4 … 124 … 547

Создается впечатление, что взаимно однозначное соответствие можно установить между любыми бесконечными множествами. Но это не верно.

Д ля каждого числа найдется единственная точка на числовой прямой, но не для каждой точки найдется натуральное число.

К Е Р

1 ? 2 Х

Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются равномощными.

Между понятиями «равное множество» и «равномощное множество» устанавливается взаимосвязь, если множества равны, то они равномощны, обратное утверждение выполняется не всегда.

18. Определение числовой функции. Способы задания функции. Прямая пропорциональность, ее свойства и график.

Числовой функцией называется соответствие между числовым множеством Х и множеством R (действительные числа), при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R.

Множество x называется областью определения функции.

Функцию принято обозначать: f, ƒ, Ψ, y

y = ƒ(x) показывает, что x и y находятся в функциональной зависимости.

x – независимая переменная (аргумент)

y – зависит от переменной (функция)

Функцию можно задать разными способами:

1) Аналитический (т.е. при помощи формулы)

2) Табличный

Таблица – ряду значений аргумента указывается ряд соответствующих значению функций.

3) Графический (т.е. функция задается при помощи графика)

График функции – множество точек координатной плоскости, абсцисса которых – значение аргумента, взятое из области определения, а ордината – значение функции от данного значения аргумента.

Прямой пропорциональностью называется функция, которая может быть задана при помощи формулы у = kx, где k – любое действительное число, отличное от нуля.

Графиком явл. прямая линия, проходящая через начало координат.

Возможны 2 случая:

1) k > 0 y = 2x

2) k < 0 y = -2x

1. 2.

x	0	1
y	0	2

x	0	1
y	0	-2

Свойства:

1) Область определения множества (D(f)) – любое действ. число (R) (от- беск., до +беск.)

2) область значения (Е(х)) – все действительные числа (R) (от- беск., до +беск.)

3) При к<0 функция убывает на всей области определения. При к>0 функция возрастает на всей области определения.

4) отношение двух значений аргумента равно отношению соответственных значений функции, т.е. х_{1 :} х₂ = у_{1 :} у_2.

Если х и у – положительные числа, то с увеличением значения переменной х в несколько раз соответствующие значения функция возрастает во столько же раз.