Задачи на доказательство.

Задача 31. Докажите, что если сумма двух натуральных чисел меньше 13, то их произведение не больше 35.

Доказательство: Пусть произведение двух натуральных чисел больше 36; тогда одно из них больше 6 (так как если оба множителя не больше 6, то их произведение не больше 36). Если одно слагаемое больше 6, то оно может быть равно 7, 8, 9, 10 или 11; тогда другое слагаемое соответственно не больше 5, 4, 3, 2 или1. В каждом из этих случаев произведение не больше 35, 32, 27, 20 или 11. Это противоречит сделанному предположению, что и требовалось доказать.

Задача 32. Докажите, что число 7⁷⁷⁷+1 не делится на 5.

Доказательство:

Число 7⁷⁷⁷ + 1 = (7⁴)¹⁹⁴ 7³ + 1 = 2401¹⁹⁴ 343+1 не делится на 5, так как оканчивается на 4.

Задача33. Докажите, что 129*70 делится на 6.

Доказательство:

129:3(так как сумма цифр делится на 3)

70:2, значит 129*70 делится на 6.

Г. Ленгауэр, рассказывая о зале математических раз­влечений в г. С.-Петербурге, приводит наборы различных за­нимательных математических задач. Они подбираются после­дующим группам:

1.) Задачи, не требующие или почти не требующие математи­ческих знаний и основанные на сообразительности и догадке.

2.) Задачи требующие, кроме смекалки, еще и элементар­ных математических знаний или заставляющие вспомнить эти знания, когда-то полученные в школе.

3.) Вопросы и задачи, имеющие целью проверку и уточнение математических знаний школьника. Это главным образом неожиданные сопоставления и выводы, иногда парадоксы и т. п.

Задача34. Множимое увеличили на 10%, а множитель уменьшили на 10%.Как при этом изменилось произведение?

Пусть множимое х, а множитель у; тогда новое множимое 1,1х, а 0,9у – новый множитель. Новое произведение равно 0,99ху, следовательно, произведение уменьшилось на 1%.

Задача 35. Количество отсутствующих учеников в классе составляет числа присутствующих. После того, как из класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно числа присутствующих. Сколько учеников в классе?

Решение:

Пусть а – количество учеников в классе. Первоначально число отсутствующих составляло часть от а. После того, как из класса вышел один ученик, число отсутствующих составило часть от числа а. Поэтому один ученик соответствует - = часть от а. Следовательно, в классе 42 ученика.

4.) Серия для любителей трудных и остроумных математи­ческих задач. Эти задачи для своего решения требуют доста­точной математической подготовки, однако не выходят из объема курса средней школы.

Пример 36. Путь от дачи до города идет сначала горизонтально, а затем в гору. Дачник проехал на велосипеде горизонтальную часть пути со скоростью10 км/ч, а в гору шел пешком со скоростью3 км/ч и прибыл в город через 1 ч 40 мин после выезда с дачи. Обратно он проехал путь под гору со скоростью 15 км/ч, а горизонтальную часть пути со скоростью 12 км/ч и прибыл на дачу через 58 мин после выезда из города. Сколько километров от дачи до города?

Р ешение: 3км/ч Г

10км/ч 15км/ч

Д 12км/ч О

Пусть: х км – составляет горизонтальный участок(ДО), у км – подъем (ОГ), тогда время которое он затратил на путь от дачи до города: ( + )ч , а время которое он затратил на путь с города до дачи : + )ч . По условию задачи, дачник прибыл в город через 1 ч 40 мин , а на обратный путь затратил 58 мин после выезда из города.

Составим и решим систему уравнений.

+ = 1 *30

+ = *60

3 х +10у = 50

5х + 4у = 58

Находим: у = 2 ,х = 10

2 + 10 = 12 ( км)

Ответ: 12 километров путь от дачи до города

5.)Задачи для ребят в возрасте 8—12 лет.

Задача 37. Из чисел 21, 19, 30, 25, 3, 12, 9, 15, 6, 27, выбрать три такие числа, сумма которых равна 50.

Ответ. Сумма чисел 19, 25 и 6 равна 50

Задача 38. Продолжите ряд чисел: 10,8,11,9,12,10 до восьмого числа. По какому правилу он составлен?

Ответ: 10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, 11,… . Правило следующее: на нечетных местах ряда стоят последовательные натуральные числа, начиная с 10, а на четных – начиная с 8.

6.) Задачи-шутки, математические фокусы и развлечения.

М. Гарднер в книге «Есть идея!» [43] разделил собранные в ней задачи на шесть категорий:

• комбинаторные,

• геометриче­ские,

• теоретико-числовые,

• логические,

• процедурные

• словесные.

При этом он отмечает, что данные категории задач не взаимоис­ключающие, они неизбежно перекрываются, и задачи, отнесен­ные к одной из них, можно было бы включать и в другие.

Комбинаторные:

Задача 39. Имеется пять одинаковых стульев и обивочная ткань трех разных цветов. Сколько существует вариантов обивки, если каждый стул можно обить тканью любого цвета?

Решение. Стулья одинаковы, поэтому два варианта обив­ки будут различаться только в том случае, если тканью хотя бы одного цвета обито разное количество стульев.

Закодируем обивочные ткани номерами 1, 2 и 3. Тогда все варианты обивки будут наборами из пяти цифр, отли­чающимися друг от друга количеством единиц, двоек или троек. Выпишем в первой строке набор из пяти единиц, во второй строке — все наборы с 4 единицами, в третьей — с тремя единицами и т.д. и, наконец, в последней, шестой строке — все наборы без единиц:

11111,

11112, 11113,

11122, 11123, 11133,

11222, 11223, 11233, 11333,

12222, 12223, 12233, 12333, 13333,

22222, 22223, 22233, 22333, 23333, 33333.

Таким образом, всего существует 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 вариант обивки.

Задача 40. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 2 ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Решение. Ладья бьет любое поле на той горизонтали и на той вертикали, где она стоит. Первую ладью мы можем поставить на любую из 64 клеток шахматной доски. Допу­стим, первая ладья заняла какую-то клетку (рис. 5). Тогда для второй ладьи годятся все клетки, кроме зачеркнутых. Следовательно, для второй ладьи остается 64-(l + 7-f 7) = 49 клеток.

Рис. 5

Умножим 64 на 49: 64 х 49 = 3136. Однако каждую расстановку на доске двух ладей мы посчитали дважды. Если, например, первая ладья стоит на d5, а вторая на 64 или если первая стоит на 64, а вторая на с/5, то это один и тот же вариант.

Следовательно, всего существует 3136 : 2 = 1568 вари­антов расстановки.

Задача 41. Шестеро ребят решили покататься на трех одинаковых двухместных лодках. Сколькими способами они могут распределиться по этим лодкам?

Решение, Присвоим каждому из ребят номер от 1 до 6 и рассмотрим, как можно разбить 6 человек на три пары, (рис. 6).

Рис. 6

Для первого существует 5 пар: 12, 13, 14, 15 и 16. Если одну лодку заняла пара 12, для остальных лодок возможны следующие пары: 34 и 56, 35 и 46, 36 и 45. Этим разбиениям соответствуют первые три ветви дерева возможных вариантов, изображенных на рис. 6. Таким образом, всего существует 15 вариантов.