Оглавление

Элементы новизны содержания учебного материала 1

Воспитание познавательной активности (поиск математических закономерностей) 3

Выявление межпредметных связей 3

3

Математика и физика. 4

Математика и химия 6

Математика и экономика 7

Создание проблемной ситуации 8

Раскрытие красоты математических закономерностей 10

Использование алгоритмов 13

Задачи на нахождение. 14

Задачи на доказательство. 15

Задачи, несущие новую информацию и их типы. 19

Задачи с жизненным содержанием. 20

Логические задачи 23

Элементы новизны содержания учебного материала

Пример 1. На уроке алгебры при изучении темы «Умножение разности двух выражений на их сумму» можно вначале провести устный счет под девизом «Кто быстрее?» (найти произведение двух чисел типа 21 • 19, 31 • 29, 42 • 38, 45 • 35, 201 • 199). После окончания устного счета отметить, что умножить числа можно намного быстрее и проще, если изучить очень важный и инте­ресный раздел «Формулы сокращенного умножения», который на­чинается темой «Умножение разности двух выражений на их сум­му».

Пример 2. В VIII классе при изучении теоремы Виета можно дать уча­щимся целый ряд квадратных уравнений типа х²—5x+6=0, х² + х—6=0, х²—6х+5=0, х¹—7х+10=0 и быстро определить корни этих уравнений, не решая их. Учащиеся заинтересованы, каким образом учитель смог так быстро найти корни каждого уравнения. Затем сообщить, что решают эти уравнения, используя интересную теорему, называемую теоремой Виета. О ней даже написаны стихи для лучшего запоминания. И после доказательства теоремы Виета зачитать учащимся стихотворение:

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого;

Умножишь ты корни — и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь эта, что за беда —

В числителе b, в знаменателе а.

Пример 3. При итоговом повторении учебного материала в X классе можно предложить учащимся решить уравнение х³—7х—6=0 и убедиться в том, что сумма всех корней этого уравнения равна нулю. Нельзя ли было дать такой ответ, не находя самих кор­ней? Верна ли теорема Виета для уравнений любой степени или только для квадратного уравнения? Учащиеся не могут сразу отве­тить определенно. Часто мнения разделяются: значительная часть учащихся считает, что теорема Виета верна только для квад­ратного уравнения. После выяснения, что теорема Виета устанав­ливает зависимость между корнями уравнения и его коэффициен­тами, учащиеся приходят к выводу, что и для кубического урав­нения существует взаимосвязь между его корнями и коэффици­ентами. Затем можно предложить записать вывод:

если x₁, х₂,х₃ корни кубического уравнения x³+bx²+cx+d=0,

то x₁+х₂+х₃ = - b, x₁х₂+ x₁ х₃ + х₂х₃ = c и x₁х₂х₃ = -d.

Учитель должен подчеркнуть, что это необязательный для всех учебный материал, но если кто хочет, может попытаться доказать самостоятельно эти равенства.

В данном случае известный материал рассматривается с новых более общих позиций.

При повторении или закреплении учебного материала новизна его может достигаться за счет использования обратных теорем, рассмотрения известных формул как «слева направо», так и «справа налево».

Воспитание познавательной активности (поиск математических закономерностей)

Пример 4. На уроке геомет­рии перед доказательством теоремы Пи­фагора можно предложить учащимся построить прямоугольный треугольник с катетами а=3, b=4. Затем измерить ги­потенузу с точностью до целых чисел и проверить, будет ли выпол­няться равенство: а²+b²=с². Учащиеся под руководством учителя сами формулируют теорему Пифагора и доказывают ее. Для закрепления учебного материала можно предложить решить задачу: существуют ли три последовательных целых числа, ко­торые удовлетворяют теореме Пифагора?

Учащиеся, имеющие хорошую подготовку по математике, легко справляются с решением данной задачи. Они обозначают стороны прямоугольного треугольника n—1, n, n-2 и легко определяют катеты и гипотенузу. После применения теоремы Пифагора и пре­образования выражения (n—1)²+n²= (n+1)² школьники получают n=4. Значит, числа 3, 4 и 5 являются длинами сторон прямо­угольного треугольника.

Учитель на уроке может рассказать, что в связи с этой тео­ремой Пифагор создал правило для нахождения целых чисел, пред­ставляющих длины сторон прямоугольных треугольников по фор­мулам: a=2n+1; b=2n² +2n; c=2n²+2n+l, где а и b катеты, с — гипотенуза.

Пример 5. Допустим, надо умножить 96 на 92.

Дополнения до ста — со­ответственно 4 и 8. Отнимем от первого сомножителя дополне­ние второго (96—8 = 88) или от второго сомножителя дополне­ние первого (92—4 = 88). И в том, и в другом случае получаем 88. Это первые цифры искомого произведения. Перемножаем дополнения (4*8 = 32). 32 — это последние цифры произведения, Итак, 96*92 = 8832. На схеме это выглядит так:

9 6 4

92 8

88 32

Если же учитель постарается делать то же и впредь, то он воспитает таких приверженцев устного счета, которые в X клас­се будут ради собственного удовольствия легко брать в уме оп­ределенные интегралы.