СЫКТЫВКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт точных наук и информационных технологий

Кафедра прикладной математики и информационных технологий в образовании

• Основные понятия теории вероятностей

Сыктывкар 2012

Методические указания предназначены для студентов факультета управления, изучающих курс «Математика», а также для студентов направления «Прикладная математика и информатика» по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика».

Составитель: доцент кафедры ПМиИТО А.А.Холопов

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Эти свойства относят ко всем вероятностным пространствам, то есть следуют из аксиом теории вероятности. 7

Свойства событий. 7

Свойства вероятностей событий. 7

Определение. События и называются независимыми, если 11

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Таблица значений функции ЛапЛаса

1. Основные понятия теории вероятностей

Не ставя целью подмену учебника, что невозможно в кратком пособии, приведем лишь основные правила действия со случайными событиями и наиболее простые, необходимые формулы для расчета вероятностей и параметров случайных величин.

История. Теория вероятностей как теория возникла в 17 веке при решении задач из азартных игр (бросание костей и т.п.). В начале 18 века уже были получены фундаментальные математические результаты (формула Бернулли и др.). Однако строгое обоснование положений теории вероятностей долго не удавалось получить из-за необычности понятий "случайное событие", случайная величина", что затрудняло решение новых, более сложных задач, возникших в экономике, физике в 19, 20 веках. Полное обоснование положений теории вероятностей дал выдающийся советский математик Колмогоров А.Н. в 30х годах 20 века. Его аксиоматизация теории вероятностей сейчас принята во всем научном мире. Применение теории вероятностей и основанной на ней математической статистики в современной науке и практике чрезвычайно широко, так как в определенном смысле "все в мире случайно".

1.1. Основные объекты теории вероятностей.

В начале дадим нестрогие (то есть не математические) определения.

Событие – это то, что может произойти, а может и не произойти.

Достоверное событие (будем обозначать через Ω – греческая заглавная буква «омега») – это то, что всегда, то есть обязательно, произойдет.

Невозможное событие (будем обозначать через Ø – символ пустого множества) – это то, что никогда не произойдет.

Ясно, что если есть какое-то событие А, то есть и противоположное (к событию А) событие , которое заключается в том, что А не происходит.

Далее, если есть два события и , то есть и их сумма (часто также обозначается как ), событие, заключающееся в том, что хотя бы одно из этих двух событий происходит (при этом могут произойти и оба). Также определяется сумма любого конечного или счетного количества событий.

Далее, если есть два события и , то есть и их произведение (часто также ) – событие, заключающееся в том, что оба эти два события происходят. Также определяется произведение любого конечного или счетного количества событий.

Если из того, что событие наступило, следует, что и событие наступит, то этот факт обозначается или .

Вероятность события – это неотрицательная числовая характеристика шанса событию произойти, измеряемая в долях 1 (100%=1, 40%=0.4). Очевидно, что , .

Случайная величина – это число со случайными значениями, то, что невозможно предсказать заранее, не считая случая обычных чисел, которые тоже удобно считать случайными.

Теперь немного уточним:

1) Теория вероятностей – это наука о закономерностях массовых случайных событий, поэтому уникальные явления, которые не могут (даже теоретически) встретиться еще много (неограниченно много) раз, не являются событиями, у них нет вероятностей. Принято трактовать событие как результат некоторого эксперимента, которое можно неограниченное число раз воспроизвести снова и снова (хотя бы мысленно). Эксперимент (или опыт) нужно считать идеализированным, считается, что он воспроизводится при абсолютно тех же условиях и вся совокупность его возможных результатов одна и та же. Тогда невозможное событие Ø – это то, что получится невозможный результат. Те результаты (события), которые невозможно представить в виде набора более мелких результатов (в виде суммы нескольких более мелких событий), называются исходами эксперимента, или элементарными событиями. Тогда достоверное событие Ω – это то, что получится какой-либо исход, по-другому, это совокупность (множество) всех элементарных событий. Пример 1. При бросании игральной кости (правильного однородного кубика с очками от 1 до 6) один раз в качестве исходов можно считать выпадение конкретного числа от 1 до 6. Таких исходов 6. Неэлементарным событием будет, например, выпадение четного числа (совокупность элементарных исходов «2», «4», «6»). Если эксперимент состоит из двух бросаний игральной кости (то же, что и одновременное бросание двух костей), элементарные исходы – это упорядоченные пары чисел в количестве 36. достоверное событие это совокупность всех упорядоченных пар. Почему здесь нужно различать пары (6. 1) и (1, 6)? Потому что нас могут интересовать события такого вида, как А = «в сумме получить не менее 8 очков, при этом при первом бросании получить не менее 3». Первая пара входит («благоприятствует») А, вторая – нет.

2) Ясно, что все, даже идеализированные, эксперименты – это различные эксперименты, у них различные достоверные события. Но теория вероятностей изучает общие закономерности событий и их вероятностей, поэтому принято считать, что есть некоторый абстрактный эксперимент с множеством (абстрактным) элементарных событий Ω, и вывод самых общих закономерностей происходит в рамках этого эксперимента. Некоторые (все же абстрактные) эксперименты имеют свои характерные особенности (типы) и, соответственно, события в этих экспериментах и их вероятности подчиняются особым, им характерным закономерностям. В теории вероятностей изучаются наиболее часто встречающиеся типы таких закономерностей. При решении конкретных задач наибольшую трудность представляет как раз выявление типа задачи, решении, какие формулы теории вероятностей можно применить, а какие нельзя.

3) Вероятности событий также должны подчиняться естественным требованиям. А именно, если два события и не могут быть одновременно (такие события называются несовместными), то , в общем случае конечного или счетного количества попарно несовместных событий или . Такое свойство вероятности называется аддитивностью. Можно сказать, что вероятность – это то, что удовлетворяет требованию аддитивности, а также, естественно равенству (свойство конечности) и условию (свойство неотрицательности). У каждого события есть вероятность, более того, не бывает события без его вероятности. Множества событий и значения их вероятностей согласованы и определяют особенность (тип) абстрактного эксперимента. Различных вероятностей со свойствами аддитивности, конечности, неотрицательности (свойства конечных мер, как длины, площади в ограниченных множествах) бесконечно много, даже при заданном наборе событий. При решении вероятностных задач в первую очередь надо узнать, какая именно вероятность должна использоваться. Обычно она задана условиями задачи, или подразумевается известной. Например, при бросании игральной кости вероятности выпадения отдельных чисел из соображений симметрии, идеальности кубика, идеализированности эксперимента (бросание вверх с сильным кручением и достаточно высоко) и считаются одинаковыми, равными 1/6.

4) Случайной величиной, чаще всего обозначаемыми буквами греческого алфавита, называется числовая величина, принадлежность которой произвольному числовому отрезку, интервалу есть событие и у него есть вероятность. Одна и та же величина может быть случайной для одного эксперимента и не быть случайной величиной для другого эксперимента. Например, величина «сумма очков при трех бросаниях игральной кости» является случайной для эксперимента «трехкратное бросание кости», также для эксперимента «бросание 5 раз игральной кости», если учитывать первые 3 бросания и не является случайной для эксперимента «двукратное бросание кости» (нет третьего бросания) или для эксперимента «наблюдаем курс акции Газпрома через 1 месяц» (при чем тут бросание кости?).