1.3. Свойства событий и вероятностей.

Эти свойства относят ко всем вероятностным пространствам, то есть следуют из аксиом теории вероятности.

Свойства событий.

для любого события

(правила де Моргана).

По сути, это свойства из теории множеств.

Свойства вероятностей событий.

1. Ø (в обратную сторону неверно: есть события нулевой вероятности)

2. (вероятности противоположных событий в сумме дают 1)

3. Если , то (вероятность причины не больше вероятности следствия)

4. («нет шансов больше 100%»)

5. (теорема сложения)

6. (следует из предыдущего)

7. Если есть монотонно возрастающая последовательность событий и , то .

По сути, это свойства любой меры.

1.4. Классическая вероятность. Элементы комбинаторики.

Так называется вероятностное пространство, с которым имели дело классики теории вероятностей и которое имеет многочисленные применения во многих ситуациях.

В качестве достоверного события берется конечное множество . События – это все подмножества . Вероятности всех элементарных событий равны между собой и, тем самым, . Вероятность любого события , состоящего из k различных элементарных исходов (говорят, благоприятствующих ) считается по простой формуле

,

Иными словами, вероятность события есть отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события А, к числу всех исходов.

Мы уже использовали эту формулу выше в примерах 1 и 2.

При вычислениях классических вероятностей событий часто используется раздел элементарной математики – комбинаторики. Приведем основные формулы комбинаторики.

Пусть имеется конечное множество, состоящее из n элементов.

Перестановками называются комбинации элементов множества, состоящие из всех n элементов и отличающиеся друг от друга только лишь их порядком. Для примера выпишем все перестановки трехэлементного множества a, b, c : abc, bac, bca, cba, cab, acb. Число перестановок n – элементного множества вычисляется по формуле:

(читается эн-факториал). По определению, полагают . При n = 4 получаем .

Сочетаниями из n элементов по k называются комбинации, состоящие ровно из k элементов и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Порядок как среди k элементов комбинации, так и среди n–k не вошедших в комбинацию элементов при этом не важен. Число сочетаний из n по k (или что тоже самое – число различных k – элементных подмножеств n – элементного множества) обозначается символом :

.

Выпишем все сочетания из четырех элементов по два: (n = 4, k = 2): ab, ac, ad, bc, bd, cd (порядок не важен!); следовательно,

= = 6.

Основное правило комбинаторики: если некоторый выбор N можно осуществить n способами, а некоторый выбор M можно осуществить m способами, то N и M вместе можно осуществить m·n способами.

Пример 3. Сложным, но очень важным (часто встречается в задачах) случаем классической вероятности является следующая ситуация. Есть N предметов, среди которых M «особых» предметов. Например, в коллективе из 7 человек – 3 женщины и 4 мужчины, особыми можно считать, например, женщин. Или, в урне содержатся три белых и четыре черных шара, особыми можно считать, например, былые шары. Наудачу из N предметов выбираются (извлекаются ) n предметов. Какова вероятность, что среди n извлеченных предметов ровно m окажутся особыми?

Почему здесь можно использовать классическую вероятность?

Эксперимент состоит в извлечении n предметов (без учета порядка) из N предметов (которые также неупорядочены). То есть исходами являются различные сочетания из N по n. Их число конечно и равно . Очевидно по условию (фраза «наудачу выбираются»!), что все исходы равноправны, то есть равновероятны. То есть мы находимся в ситуации классической вероятности. В интересующем нас событии m особых извлеченных предметов выбрались из M всех особых, а n–m неособых извлеченных из N–M всех неособых, причем порядки опять неважны. По основному правилу комбинаторики таких случаев всего будет . Это число благоприятствующих исходов. Тогда искомая вероятность равна

.

Задача. Из урны, содержащей три белых и четыре черных шара, наудачу извлекаются три шара. Найдите вероятность появления двух белых и одного черного шаров (событие А).

Решение. Здесь N = 7, M =3, n =3, m = 2 .Здесь число элементарных исходов равно числу способов извлечь 3 шара из 7, т.е. . Два белых шара (m = 2) извлекаются из трех способами; 1 черный шар (n – m = 1) можно извлечь из N – M = 4 четырьмя различными способами ( ); 2 белых и 1 черный можно выбрать 3 · 4 = 12 способами. Таким образом, .