Основные понятия в теории графов: Дуги, вершины в ориентированном и неориентированном графе. Примеры применения теории графов в экономике.
Граф-это совокупность двух множеств: множества Х, элементы которого называют вершинами, и множества У упорядоченных пар вершин, элементы которого называют дугами или ребрами. Если отрезки, соединяющие вершины графа, имеют направления, то граф называется ориентированным, а сами отрезки — дугами. Если же отрезки не имеют направления, то граф называется неориентированным, и в этом случае говорят, что вершины графа соединены ребрами.
Применение в экономике: задача выбора кратчайшего пути от пункта производства до пункта конечного потребления, задача выбора схемы подключения домов к системе кабельного телевидения, при которой общая длина всех участков минимальна, задача определения максимального объема информации, который можно передать от определенного отправителя к конкретному получателю, с учетом пропускных способностей каналов и узлов системы передачи данных.
Экономический смысл двойственной задачи к модели оптимального планирования производства. Математическая модель задачи определения расчетных оценок ресурсов
Теория двойственности является центральной частью всего ЛП. Она имеет богатое экономическое содержание.
В рамках модели ЛП предприятия должна существовать внутренняя система оценки ресурсов, используемых им в процессе производства. Эти оценки связаны с технологическими особенностями данного производственного процесса, характеризуемыми матрицей условий A, со структурой и количеством ресурсов, отпущенных для производственного потребления, описываемых вектором B, а также со структурой внешних цен, на основе которых получается вектор прибылей C. Эти оценки называют расчетными оценками ресурсов. Расчетную оценку единицы ресурса не следует отождествлять с той ценой, по которой предприятию был отпущен этот ресурс. Последняя отражает общественно необходимые затраты на производство единицы ресурса, а расчетная цена показывает только сравнительную ценность этого ресурса на данном предприятии в данных конкретных условиях.
В зависимости от вида исходной задачи линейного программирования различают симметричные и несимметричные пары двойственных задач.
Если система ограничений исходной задачи состоит из неравенств и на все переменные хj наложено условие неотрицательности, то исходная задача и составленная по определенному правилу двойственная задача образуют симметричную пару двойственных задач.
Пусть исходная задача имеет вид: найти наибольшее значение функции
Правило составления двойственных задач
1.
Каждому ограничению исходной задачи
ставится в соответствие двойственная
переменная yi,
где
.
2.
Составляется целевая функция
,
коэффициентами которой будут свободные
члены системы ограничений исходной
задачи, а цель задачи меняется на
противоположную:
(1)
3. Составляется система ограничений двойственной задачи, при этом матрица из коэффициентов системы ограничений исходной задачи транспонируется, знак неравенства меняется на противоположный, свободными членами будут являться коэффициенты из целевой функции исходной задачи:
(2)
4. Переменные yi в двойственной задаче также неотрицательны, т.е.
. (3)
Если двойственную задачу принять за исходную и по данному правилу составить двойственную задачу, то получим исходную задачу. Понятие двойственности является взаимным.
В несимметричном случае двойственная задача составляется по тем же правилам, что и в случае симметричной пары, но если двойственная переменная поставлена в соответствие ограничению уравнения, то эта переменная свободна по знаку.