- •В каком случае вектор b можно назвать линейной комбинацией векторов a1,..., ап?
- •Ввести необходимые векторы и матрицы и записать в векторно-матричной форме следующую задачу (дана задача лп, записанная в обычном виде).
- •9. Дайте определения ранга матрицы размером т*n. Определите ранг матрицы (матрица задана)
- •12.Единичная матрица: определение, формулы для элементов
- •13. Обратная матрица: определение, условия существования обратной матрицы
- •14. Постановка линейной производственной задачи, смысл переменных, векторов и матриц,допустимый и оптимальный план, математическая модель
- •Постановка общей задачи математического программирования. Основные понятия
- •Вектор-градиент, линия уровня, область допустимых решений в задаче лп. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.
- •Многошаговые процессы решений в экономике. Суть метода динамического программирования. Параметр состояния и функция состояния системы, рекуррентные соотношения.
- •Матричные игры с нулевой суммой, смысл коэффициентов платежной матрицы, примеры матричных игр.
- •Основные понятия в теории графов: Дуги, вершины в ориентированном и неориентированном графе. Примеры применения теории графов в экономике.
- •Экономический смысл двойственной задачи к модели оптимального планирования производства. Математическая модель задачи определения расчетных оценок ресурсов
- •Сформулировать и доказать критерий оптимальности решения задачи линейного программирования при отыскании максимума линейной функции симплексным методом.
- •22. Сформулировать и доказать критерий оптимальности решения задачи линейного программирования при отыскании минимума линейной функции симплексным методом.
- •В каком случае базисное оптимальное решение задачи линейного программирования будет ее единственным оптимальным решением? Ответ обосновать
- •В каком случае задача оптимального производственного планирования не имеет оптимального плана? Ответ обосновать
- •В каком случае при решении задачи линейного программирования симплекс-методом значения линейной функции двух последовательных планов могут совпасть? Ответ обосновать
- •Сформулировать и доказать условие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений при решении задачи линейного программирования симплекс-методом.
- •28. Сформулировать теорему о связи решений исходной и вспомогательной задач при решении задачи линейного программирования методом искусственного базиса.
- •Доказать, что если при решении задачи линейного программирования:
- •30. Для задачи линейного программирования:
- •Правила выбора ключевого столбца и строки при решении задачи лп симплексным методом, последствия неправильного выбора
- •32.Введение балансовых переменных в систему ограничений задачи лп: цель и правило введения
- •33.Введение искусственных переменных в систему ограничений задачи лп при решении задачи лп методом искусственного базиса: цель и правило введения
- •34. В каком случае процесс решения задачи лп симплекс-методом является конечным?
- •35. В каких задачах применяется симплекс-метод?
- •36. Что представляет собой симплексная таблица?
- •37. Запишите симметричную пару двойственных задач линейного программирования.
- •38. Сформулируйте правила составления задачи, двойственной к данной задаче линейного программирования с ограничениями — неравенствами.
- •39. Матричная запись пары двойственных задач лп (симметричная пара задач с ограничениями-неравенствами и несимметричная пара, где в одной из задач ограничения имеют вид равенств)
- •Сформулировать и доказать основное неравенство теории двойственности линейного программирования.
- •Сформулировать и доказать малую теорему двойственности.
- •42. Сформулировать и доказать теорему о достаточном условии оптимальности решений пары двойственных задач линейного программирования.
- •43.Сформулировать и доказать первую основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание первой основной теоремы двойственности?
- •44.Сформулировать и доказать вторую основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание второй основной теоремы двойственности?
- •Сформулировать и доказать третью основную теорему двойственности. В чем состоит экономическое содержание третьей основной теоремы двойственности?
- •46.В чем состоит условие устойчивости двойственных оценок?
- •47.Сформулируйте задачу о расшивке узких мест производства и постройте ее математическую модель.
- •48.Постановка и математическая модель замкнутой транспортной задачи, число базисных неизвестных. Записать основные свойства этой модели.
- •51.Записать правила построения первого базисного решения замкнутой транспортной задачи по методу северо-западного угла.
- •52.Записать правила построения первого базисного решения замкнутой транспортной задачи по методу минимального элемента в матрице тарифов.
- •54.Правила расчета потенциалов поставщиков и потребителей в транспортной задаче. Расчет оценочных коэффициентов для свободных клеток транспортной задачи. Условие оптимальности базисного решения.
- •55.Записать определение цикла пересчета в транспортной таблице. Использование цикла пересчета для получения нового (улучшенного) базисного решения.
- •56.Записать алгоритм решения транспортной задачи (перечислить по порядку этапы решения). Обосновать конечность метода потенциалов решения транспортной задачи.
- •57.Объяснить смысл перевозок от фиктивного поставщика или к фиктивному потребителю в оптимальном решении транспортной задачи.
- •58.Что такое целочисленное линейное программирование? Допустимое множество задачи цлп.
- •59.Что такое параметрическое линейное программирование? Где может находиться параметр?
- •60.Что такое многокритериальная задача?
- •61.Что такое рекорд в методе ветвей и границ?
- •62.Приведите пример задачи целочисленного линейного программирования
- •Приведите пример задачи параметрического линейного программирования.
- •64.Приведите пример многокритериальной задачи
- •65.Сформулируйте условие окончания ветвления при решении задач методом виг.
- •66.Что такое решение, оптимальное по Парето в многокритериальной задаче.
- •67.Объясните, почему метод виг принадлежит к методам отсечения?
- •68. Почему нельзя решать задачу целочисленного лп, решив ее сначала как обычную задачу лп без учета целочисленности, а затем округлив полученное решение?
- •Что такое решение, оптимальное по Парето, в многокритериальной оптимизации?
- •Описать метод ветвей и границ
- •Метод динамического программирования, функция состояния, уравнение Беллмана
- •Составить математическую модель и записать функциональное уравнение Беллмана (рекуррентное соотношение), расшифровать все переменные и функции, входящие в него для следующей задачи:
- •73.Составить математическую модель и записать функциональное уравнение Беллмана (рекуррентное соотношение), расшифровать все переменные и функции, входящие в него для следующей задачи:
- •74.Составить математическую модель и записать функциональное уравнение Беллмана (рекуррентное соотношение), расшифровать все переменные и функции, входящие в него для следующей задачи:
- •75. Составить математическую модель и записать функциональное уравнение Беллмана (рекуррентное соотношение), расшифровать все переменные и функции, входящие в него для следующей задачи:
- •76. Составить математическую модель и записать функциональное уравнение Беллмана (рекуррентное соотношение), расшифровать все переменные и функции, входящие в него для следующей задачи:
- •В чем отличие «условий неопределенности» от «вероятностных условий». Что такое полная неопределенность и частичная неопределенность?
- •Что такое платежная матрица и матрица рисков, экономический смысл платежной матрицы
- •Как по платежной матрице составить матрицу рисков?
- •Как рекомендуется принимать решение «по Вальду»?
- •Как рекомендуется принимать решение «по Сэвиджу»?
- •Как рекомендуется принимать решение «по Гурвицу»?
- •Что такое правило «розового оптимизма»?
- •Как находится риск финансовой операции как среднее квадратическое?
- •Что такое доминирование финансовых операций?
- •Что такое взвешивающая формула?
- •Каков экономический смысл среднего ожидаемого дохода финансовой операции? Формула для его расчета
- •Как рекомендуется принимать решение по критерию наибольшего среднего ожидаемого дохода?
- •Верхняя и нижняя цена игры в матричной игре в чистых стратегиях, их нахождение
- •Оптимальные стратегии в матричной игре в чистых стратегиях, условие их существования, седловая точка матрицы
- •Дана матрица, один из элементов которой является параметром. Найти область значений параметра (с доказательством!), при которых заданные стратегии игроков будут оптимальными .
Какая система векторов а1, ... ,an называется линейно зависимой и линейно независимой? Система единичных векторов ортогонального n-мерного векторного пространства линейно зависима или линейно независима?
Система векторов a1, a2,…am называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.
Теорема. Для того, чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой набор чисел мю, из которых хотя бы 1 отлично от нуля, тако что μ1a1 + μ2a2+ …+ μmam=0
Система векторов a1, a2,…am называется линейно независимой, если ни один из векторов этой системы нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.
Теорема. Для того, чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы что μ1a1 + μ2a2+ …+ μmam=0 выполнялось только при нулевых значениях всех чисел мю.
Система единичных векторов ортогонального n-мерного векторного пространства линейно
независима, потому что нельзя выразить один вектор через другие.
В каком случае вектор b можно назвать линейной комбинацией векторов a1,..., ап?
В-р является линейной комбинацией в-ров , если его можно представить как сумму произведений данных в-ров на какие-либо числа - коэффициенты линейной комбинации.
Ввести необходимые векторы и матрицы и записать в векторно-матричной форме следующую задачу (дана задача лп, записанная в обычном виде).
Под линейным программированием (ЛП) понимается раздел теории экстремальных задач, в котором изучаются задачи нахождения максимума или минимума линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств в n-мерном векторном пространстве.
Постановка задачи: Дана система m линейных уравнений с n неизвестными
(1)
Где все неизвестные могут принимать только неотрицательные значения x1 0, x2,0,…, xn0, (2) и линейная однородная функция тех же переменных: L = c1x1 + c2x2 + … + cnxn.(3)
Требуется среди всех решений системы уравнений (1) найти такое неотрицательное решение. Которое бы линейная форма (3) принимала наименьшее значение.
Обозначим через A матрицу системы линейных уравнений, X и B – матрицы-столбцы (векторы) переменных и свободных членов. Также введём в рассмотрение n-мерный вектор С, компонентами которого служат коэффициенты линейной формы (3) и n-мерный нуль-вектор 0=(0, 0,…0)
Тогда задачу л/п можно представить в следующем виде:
Линейная форма: L=CX
Система линейных уравнений: AX=B
Условие (2): X≥0
Дайте определение матрицы, обратной квадратной матрице А . Какое условие является необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы?
Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А В = В А = Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.
Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.
Матрица, обратная матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1.
СЛАУ решается методом Жордана - Гаусса. Каким образом в процессе решения убедиться в том, что СЛАУ:
не имеет решения?
имеет уравнение, являющееся линейной комбинацией каких-либо других уравнений системы?
1) Если в процессе решения появляется уравнение вида 0*х1+0*х2+…+0*хn=bi , где bi¹0 , то это означает, что система несовместна, т.е. не имеет решения
2) Если в процессе решения левая и правая части i ур-я обращаются в 0, т.е.0=0 Þ данное ур-е явл линейной комбинацией ур-й входящих в эту систему, в этом случае это ур-е исключается из всей системы
По каким правилам при нахождении неотрицательных решений СЛАУ выбирается разрешающая неизвестная и разрешающее уравнение?
Решение ( ) системы называют неотрицательным, если все его компоненты αj неотрицательны.
Если правые части всех уравнений полученных систем окажутся неотрицательными, то соответствующие базисные решения также будут неотрицательными. Следовательно, чтобы получить неотрицательные базисные решения СЛАУ, надо научиться вести процесс исключения неизвестных так, чтобы свободные члены всех уравнений на всех этапах этого процесса оставались неотрицательными. Для этого следует руководствоваться следующими правилами: 1)Если в СЛАУ имеются отрицательные свободные члены, то все такие уравнения необходимо умножить на (-1); 2) В качестве разрешающей неизвестной можно принять любую неизвестную, при которой есть хоть один положительный коэффициент, а затем в качестве разрешающего уравнения следует взять то уравнение, которое соответствует наименьшему среди отношений свободных членов уравнений к соответствующим положительным коэффициентам при выбранной неизвестной в этих уравнениях.
Может случиться, что указанное минимальное отношение достигается при нескольких значениях индекса. Тогда любое из соответствующих им уравнений можно принять за разрешающее. Принято говорить в этом случае, что рассматриваемая СЛАУ является вырожденной.
СЛАУ не будет иметь ни одного неотрицательного решения, если в процессе симплексных преобразований в ней появится уравнение, в котором свободный член строго положителен, а среди коэффициентов при неизвестных нет ни одного положительного.
Преобразования системы в соответствии с этими правилами называются симплекс-преобразованиями системы.
Дайте определения:
разрешающей неизвестной,
разрешающего уравнения,
базисной и свободной переменной,
базисного и общего решения.
Разрешающая неизвестная- неизвестная в СЛАУ с коэффициентом отличным от нуля ,которую собираемся исключить из всех уравнений системы, кроме r-го уравнения(разрешающего).
Разрешающее уравнение – уравнение, содержащее разрешающую неизвестную, а остальные уравнения этой системы ее не содержат.
Переменные, коэффициенты при которых образуют минор, отличный от нуля (базисный минор), называются базисными переменными (x1, x2, …, xr), переменные присутствующие только в одном уравнении системы с коэффициентом 1. Остальные переменные xr+1, …, xn называются свободными.
Общее решение- выражения базисных неизвестных через свободные вида
X 1=h1-g1,m+1 - …- g1nxn ,
Xm = gm,m+1xm+1 - … - gmnxn
Среди частных решений системы выделяются базисное , отвечающее нулевым значениям свободных неизвестных : X1 = h1, x2 = h2, …, xm = hm, xm+1 = 0, …,Xn = 0
8. Матрица A = = 1,2,3. Разложите определитель по элементам второго столбца.