9.4. Некоторые уравнения, допускающие понижение порядка

Укажем два типа дифференциальных уравнений второго порядка, которые специальной заменой можно свести к дифференциальным уравнениям первого порядка.

1. Уравнение вида y = f(x, y), т.е. не содержащее явно y, заменой y= z(x) приводится к уравнению 1-го порядка z = f(x, z).

Пример 1. Решить уравнение y = – .

Решение. Замена y= z(x), y = z приводит к уравнению первого порядка

z= – . Разделяя переменные, получаем = – , откуда ln |z| = –ln |x| + ln |C| и общее решение уравнения z= – можно записать в виде z = (C – произвольная постоянная). Имеем снова уравнение 1-го порядка, но уже для функции y(x): y = . После интегрирования получаем общее решение исходного уравнения y(x) = Cln |x| + D, где C, D – две произвольные постоянные.

2. Уравнение вида y = f(y, y), не содержащее явно независимой переменной x, приводится к уравнению 1-го порядка заменой y= z(y) следующим образом: y =  =  z, откуда z = f(y, z).

Пример 2. Решить уравнение yy = (y)².

Решение. Перепишем исходное уравнение в виде y = ( y = 0 – специальное решение!). Замена y= z(y) приводит к уравнению z= . Если z=0, то y= 0 и y = const – специальные решения исходного уравнения. Сокращая на z получаем = . После разделения переменных и интегрирования получим ln |z| = ln |y| + ln |C|, откуда z = Cy и = Cy. Интегрируем еще раз:

 = C dx или ln |y| = Cx + ln |D|, после чего можно записать общее решение исходного уравнения y = De^Cx , где C, D – произвольные постоянные (заметим, что здесь содержатся все ранее найденные решения вида y = const: достаточно взять C=0).