9. Дифференциальные уравнения

Общий вид дифференциального уравнения следующий:

F(x, y, y^/, y^//,…, y⁽ⁿ⁾) = 0.

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция, n – наивысший порядок производной, с которым искомая функция входит в уравнение. Значение n называется порядком дифференциального уравнения.

Часто имеют дело с уравнениями, разрешенными относительно производной. Например, уравнение 2-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид

y^// = f(x, y, y^/ ).

Решением дифференциального уравнения в интервале (, ) называется функция y = y(x), обращающее это уравнение в тождество по переменной x.

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение y^/ =f(x), решениями которого, очевидно, являются все первообразные функции f(x): y = F(x) + C, где С – произвольная постоянная. Таким образом, задача интегрирования есть частный случай задачи решения дифференциального уравнения.

Как правило, решение дифференциального уравнения n-го порядка определяются с точностью до n произвольных постоянных. Например, решениями дифференциального вида

y^/// = 2x + 1

являются функции y(x, C₁, C₂, C₃) = + C₁ + C₂ x + C₃.

9.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка следующий:

F(x, y, y^/) = 0. (1)

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, имеют общий вид

= f(x, y). (2)

Пусть ставится задача: найти решение уравнения (2), удовлетворяющее условию y(x₀) = y₀. Эта задача называется задачей Коши с начальными значениями (x₀, y₀).

Теорема существования и единственности. Для того, чтобы задача Коши имела единственное решение в некоторой области G начальных значений (x₀, y₀) достаточно, чтобы функция f(x, y) была непрерывна в области G вместе с f _y^/ (x, y).

Г рафик решения y = y(x) дифференциального уравнения называют интегральной кривой. Теорема утверждает, что через каждую точку области G, в которой непрерывны f(x, y) и f_y^/(x, y), проходит, и притом единственная, интегральная кривая (рис.1).

рис.1

Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение (2) легко преобразовать к более общему виду, симметричному относительно переменных x и y:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0. (3)

Определение. Уравнение (3) называют уравнением с разделяющимися перемененными, если его коэффициенты M и N представимы в виде

M(x, y) = M₁(x)M₂(y), N(x, y) = N₁(x)N₂(y).

Рассмотрим способ решения (интегрирования) уравнения

M₁(x)M₂(y)dx + N₁(x)N₂(y)dy = 0. (4)

Предположим, что M₂(y) 0, N₁(x) 0. Деля обе части (4) на M₂(y)N₁(x) имеем

dx = – dy. Интегрирование этого уравнения дает равенство

 dx = –  dy + C.

Если интегралы вычислены, то получим соотношение (x) = (y)+C, которое можно записать в виде

(x, y, C) = 0. (5)

Соотношение (5) является общим интегралом дифференциального уравнения (4). При определенных условиях из (5) можно явно найти

y = y(x, C). (6)

Выражение (6) является общим решением дифференциального уравнения (4). Подставляя в (6) вместо С различные значения, получаем частные решения.

Иногда общий интеграл (5) можно разрешить относительно переменной x. В этом случае, учитывая симметричный вид уравнения (4), удобно посмотреть на x как на искомую функцию, а на у – как на независимую переменную. Тогда общее решение имеет вид

x = x(y, C). (7)

В случае, когда представление (6) в явном виде невозможно или нецелесообразно, можно остановится на соотношении (5).

Если для некоторого числа y^* будет M₂(y^*) = 0, то y(x) = y^* – решение (4), поскольку dy = 0. Аналогично x(y) = x^* – решение (4), если для некоторого числа x^* выполняется N₁(x^*) = 0. Заметим, что эти решения, как правило, не являются частными решениями, т.е. они не могут быть получены из общих решений (6) и (7) ни при каких значениях С. Такие решения называют особыми или специальными.

Общее решение (6) дифференциального уравнения (4) обладает следующими свойствами.

1. Для любого значения С функция y = y(x, C) является решением дифференциального уравнения (4).

2. Для любых начальных данных (x₀, y₀) существует такое значение C = C^*, что функция y = y(x, C^*) является решением задачи Коши.

Эти свойства составляют содержание определения понятия общего решения для произвольного дифференциального уравнения первого порядка (1).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

(x – xy²)dx + (y – yx²)dy = 0.

Решение. Перепишем уравнение в виде x(1 – y²)dx + y(1 – x²)dy = 0. Теперь видно, что имеем уравнение с разделяющимися переменными. Считая x  1, y  1, разделяем переменные и интегрируем:

= – ,  =   – ln|1 – x²| = ln|1 – y²| + C₁.

Получаем общий интеграл ln|1 – x²| + ln|1 – y²| = –C₁, где C₁ – произвольная постоянная. Его можно преобразовать, представив произвольную постоянную в виде C₁ = – lnC (C > 0), т.к. – lnC, как и C₁, может принимать значения от – до +. Итак, ln|1 – x²| + ln|1 – y²| = lnC или ln|1– x²| + ln|1– y²| = lnC. В более простом виде общий интеграл запишется формулой |1–x²||1–y²|=C. Кроме того, имеются еще четыре специальных решения x = 1, y = 1.

Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения = by (b  0) с начальными значениями y(0)=1.

Решение. Перепишем исходное уравнение в виде = bdx. После интегрирования получаем ln |y| = bx + C₁. Произвольную постоянную представим в виде C₁ = ln |C|, C  0. Имеем ln |y| = bx + ln |C|. Потенцируя, получим |y| = |C|e^bx. Если y<0, то C<0; если y>0, то C>0. Поскольку y = 0 – специальное решение, то общее решение дифференциального уравнения = by записывается в виде y(x, C) = Ce^bx, где C – произвольная постоянная. Теперь определим значение C из условия y(0)=1: y(0, C) = Ce^b0 = C = 1. Получаем окончательный ответ: y(x) = e^x.

Уравнения вида y^/ = f(ax + by + c) приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой z = ax + by + c.

Пример 3. Решить уравнение y^/ = .

Решение. Используя замену z = 4x + 2y – 1, получаем z^/ = 4 + 2y^/, откуда y^/ = – 2. Исходное дифференциальное уравнение примет вид – 2 = или z^/ = 2(+ 2). Разделяя переменные, получим уравнение = 2 dx. Имеем при z = t², dz = 2t dt:

 =  = 2 dt = 2 [1 – ]dt = 2t – 4 ln |t+2| + C₁ = 2x,

поскольку 2x – первообразная для постоянной функции, равной 2. Т.к. t = = , то взяв в качестве произвольной постоянной C = – и сократив на 2, получаем общий интеграл

– 2ln(+ 2) = x +C.

Однородные дифференциальные уравнения вида y^/ = f(y/x) (или уравнения, которые могут быть записаны в этом виде после некоторых преобразований) заменой y =z(x)x приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение xdy = (x + y)dx.

Решение. Данное уравнение легко приводится к однородному:

= = 1 + ;

при этом x = 0 – специальное решение. Пусть y = zx, y^/ = z^/x + z. Тогда

z^/x + z = 1 + z или = , откуда = z = ln |x| + C. Итак, окончательно запишем решение рассматриваемого уравнения: y = x(ln |x| + C) или x = 0.