Линейные уравнения

Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения вида y^/ + a(x)y = b(x), где a(x), b(x) – непрерывные функции. Если b(x)=0, то в этом случае линейное уравнение называют однородным. Линейное однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Решаем его.

Из y^/ + a(x)y = 0 следует = –a(x)dx, откуда ln |y| = –a(x)dx + ln |С|, C0. Поскольку y = 0 – специальное (тривиальное) решение, то общее решение линейного однородного уравнения записывается в виде

y_одн =Cexp(–a(x)dx), C – произвольная постоянная (8)

(exp(x) – часто используемое в литературе обозначение функции e^x). Для решения неоднородного уравнения применяют метод вариации произвольной постоянной. Вкратце опишем его. Согласно этому методу постоянная C заменяется функцией C=C(x), т.е. превращается в переменную величину, иначе говоря, варьируется. Выражение y = C(x)exp(–a(x)dx) подставляем в неоднородное уравнение, получается дифференциальное уравнение уже относительно функции C(x), которая затем находится, и при этом появляется другая постоянная. Таким образом получится общее решение неоднородного уравнения. Рассмотрим примеры.

Пример. Решить уравнение y^/ – y = (x+1)³.

Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид y^/ – y =0. Здесь a(x) = – . Получаем согласно (8)

y_одн =Cexp(  dx) = Cexp(2ln |x+1|) = C(x+1)².

Варьируем C: C=C(x). Подставляем y = C(x+1)² в исходное уравнение:

(x+1)² + 2C(x+1) – C(x+1)² = (x+1)² = (x+1)³,

откуда = x+1 и C(x) = (x+1)² + D. Теперь можно записать общее решение исходного неоднородного линейного дифференциального уравнения с новой произвольной постоянной D: y = C(x)(x+1)² = (x+1)⁴ + D(x+1)².

Пример. Решить уравнение 2x(x² + y)dx = dy.

Решение. Данное уравнение преобразуется к виду – 2xy = 2x³. Здесь a(x)= –2x и соответствующее однородное уравнение y^/ – 2xy = 0. Его общее решение y_одн =Cexp(  2xdx) = Cexp(x²). Полагая C = C(x) и подставляя C в исходное уравнение y^/ – 2xy = 2x³, получаем

exp(x²) + 2Cxexp(x²) – 2xCexp(x²) = 2x³ или = 2x³exp(–x²).

Определяем C(x); с этой целью используем замену t = x², dt = 2x dx, а затем интегрирование по частям:

C(x) =  2x³exp(–x²)dx =  texp(–t)dt = – texp(–t) +  exp(–t)dt =

= – (t+1)exp(–t) + D = – (x² + 1) exp(–x²) + D.

Здесь D – новая произвольная постоянная. Получаем общее решение исходного уравнения в виде y = C(x)exp(x²) = Dexp(x²) – x² – 1.

Уравнение Бернулли

Уравнения Бернулли имеют вид y^/ + a(x)y = b(x)yⁿ. Если n=1, то имеем однородное линейное дифференциальное уравнение. При n1 уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению делением обеих частей на yⁿ и последующей заменой z = y^{1 – n}.

Пример. Решить уравнение x y^/ – 2x² = 4y.

Решение. Преобразуем данное уравнение, после чего будет видно, что имеем дело с уравнением Бернулли. Действительно,

y^/ – 2x = 4 или y^/ – 4 = 2x = 2xy^1/2.

Здесь a(x) = – , b(x) = 2x, n = 1/2. Имея в виду, что y = 0 – специальное решение, делим на y^1/2 и получаем преобразованное уравнение – 4 = 2x. Теперь делаем замену

z = y^{1 – 1/2} = y^1/2, z = y ^{–1/ 2}y = и 2z = ,

откуда получаем линейное дифференциальное уравнение относительно функции z(x): 2z– 4 =2x или z – 2 =x. Решим его. Запишем соответствующее однородное уравнение z – 2 =0, его общим решением будет

z_одн = Сexp(  dx) = Сexp(2ln |x|) = Cx².

Применяя метод вариации произвольной постоянной получаем

Cx² + 2Cx – 2 = Cx² = x или C=1/x,

откуда C(x) = ln |x| + D, z(x)=C(x)x² = (ln |x| + D)x². Т.к. = z, то общее решение данного уравнения Бернулли имеет вид y = (ln |x| + D)²x⁴, а также есть специальное решение y=0.