Модель Бертрана для дифференцированного продукта

Модель показывает то, что дифференциация продукта смягчает ценовую конкуренцию. При этом соперничество фирм не ведет к полному исчезно­вению их прибылей. Пусть функция спроса первого дуополиста имеет вид:

, (4)

где a1, b1, z1 – положительные константы;

при этом 0<z1<b1 и a1>с(b1-z1).

Условие z1<b1 означает, что если цены товаров обеих фирм вырас­тут на бесконечно малую величину , объем спроса на оба товара сокра­тится. Условие a1>AC(b1-z1) означает, что если обе фирмы назначат цены на уровне предельных издержек, объемы спроса на их товары будут по­ложительными.

Естественно, что при понижении цены Р1 первый дуополист увеличит выпуск, а понижение цены конкурента, наоборот вызывает снижение выпуска первого дуополиста. Функция прибыли дуополиста имеет вид:

, (5)

где с – затраты предприятия на единицу продукции.

Следует заметить, что при принятии дуополистами решений о ценообразовании ими будет учитываться уровень цены, установленный на предыдущем шаге. При этом в силу предпосылок модели Бертрана дуополисты принимают решения при нулевых коэффициентах вариации.

Таким образом, необходимое условие максимизации прибыли примет вид

(6)

Оно задаёт кривую реакции первого дуополиста:

(7)

По аналогии также можно представить функцию спроса и кривую реакции для второго дуополиста.

(8)

Конкуренция по Эджуорту

Одно из решений парадокса Бертрана предложил Ф. Эджуорт. Он ввел ограничение на величину производственной мощности дуополистов.

Предпосылки модели:

1. Предельные затраты на производство сверх существующего уровня мощности бесконечно велики.

2. В начальный момент времени t =0 рынок дуополии находится в состоянии равновесии по Бертрану, то есть р₀=с.

3. При равенстве цен мощность каждого дуополиста обеспечивает половину рыночного спроса.

. (9)

4. Если один из дуополистов работает на полную мощность по установившейся на рынке цене, но рыночный спрос полностью не удовлетворён, то второй дуополист будет макисимизировать свою прибыль, действуя как монополист в отношении остаточного спроса.

Пусть в момент времени t =1 второй дуополист продолжает работать на полную мощность при цене, равной предельным издержкам:

. (10)

Первый дуополист повышает цену на свою продукцию, исходя из функции остаточного спроса:

. (11)

Таким образом, в момент времени t = 1 функция остаточного спроса на продукцию первого дуополиста примет вид:

, (12)

Отсюда

.

что позволяет определить функцию совокупного дохода:

, (13)

Функция прибыли первого дуополиста:

(15)

и необходимое условие экстремума

(16)

позволяют установить оптимальный объём выпуска

(17)

и уровень цены (р₁₁> с)

(18)

обеспечивающие максимум прибыли первого дуополиста. При этом фирма получит положительную прибыль в размере

(19)

Однако у второго дуополиста есть гораздо более выгодный вариант стратегического решения. Пусть в следующий момент времени t = 2 второй дуополист повышает цену до уровня

(20)

где  - бесконечно малая величина ( > 0). В таком случае он, по прежнему работая на полную мощность и выпуская в два раза больше продукции, чем его конкурент, обеспечит себе положительную прибыль:

, (21)

которая фактически (при 0) почти в два раза превысит уровень прибыли первого дуополиста.