Парадокс Бертрана и дилемма заключенного

Исходные условия:

- дуополия;

- средние издержки двух фирм равны и постоянны.

- цены фирмы устанавливают одновременно.

- функция рыночного спроса: . При этом функция спроса одного из дуополистов имеет вид:

(1)

- имеется рынок однородной продукции.

Каждый дуополист в целях увеличения объёма продаж будет снижать цену своей продукции на малую величину. В конечном счёте, равновесие в модели дуополии Бертрана установится в точке пересечения кривых реакции конкурентов, в которой они могут получить нулевую прибыль. В этом случае будет иметь место парадокс Бертрана.

Его суть в том, что при появлении всего одной конкурирующей фирмы рыночное равновесие может стать нестабильным и привести к «ценовой войне», а следовательно, и к конкурентному результату, то есть к нулевой прибыли в долгосрочном периоде, что нейтрализует стимулы крупных фирм к производству и сбыту данного товара.

В рам­ках теории игр парадокс Бертрана известен как «дилемма заключенно­го». Виновные в совершении преступления стоят перед выбором стратегии «сознаваться» или «не сознаваться», и делают выбор одновременно, изолированно друг от друга. При этом они не доверяют друг другу. Результаты их возможного выбора представлены на рис.1.

		Заключенный 2
		Сознаться	Не сознаться
Заключенный 1	Сознаться	Срок: (5 лет; 5 лет)	Срок: (1 год; 10 лет)
	Не сознаться	Срок: (10 лет; 1 год)	Срок: (2 года; 2 года)

Рис. 1. Матрица выигрышей заключенных

Для каждого из них домини­рующей стратегией или стратегией, приносящей наибольший выигрыш при любой стратегии другого игрока, является стратегия «сознаваться». Каждый заключенный думает, что другой признается первым и обречет его на более суровое наказание. Рациональный выбор обоих будет состоять в том, чтобы сознать­ся, несмотря на возможность улучшить положения обоих при выборе ими стратегии «не сознаваться».

Подобным образом не доверяют друг другу и фирмы. Они также как и заключенные не могут принудить друг друга к выполнению достигнутых договоренностей. Рассмотрим пример стратегического взаимодействия фирм по цене. Возмож­ные комбинации их стратегий и получаемых ими выигрышей пред­ставлены в виде матрицы выигрышей на рис.2.

		Стратегии фирмы 2
		Низкая цена: 5	Высокая цена: 10
Стратегии фирмы 1	Низкая цена: 5	(2; 2)	(4; 1)
	Высокая цена: 10	(1; 4)	(3; 3)

Рис. 1. Матрица выигрышей игрока

В однопериодной игре доминирующей стратегией для каждой фир­мы будет стратегия «назначать низкую цену». Равновесие рынка с низкими ценами будет служить равновесием по Нэшу (американский математик Джон Нэш) в не­повторяющейся игре.

Равновесие по Нэшу – это такое состояние рынка, при котором каждое предприятие придерживается стратегии, являющейся наилучшим ответом на стратегии других конкурентов. То есть ни одно предприятие не хочет изменить своего поведения в одностороннем порядке.

Если игра или стратегическое взаимодействие фирм продолжается бесконечно долго, то доминирующими будут, по крайней мере, две стра­тегии:

1. Стратегия «руки, дрожащей на курке» - назначить высокую цену в момент t, если другая фирма назначила высокую цену в момент (t-1) и наоборот.

2. Стратегия «хищничества» - назначать низкую цену в любой момент времени.

Максимальный выигрыш каждой фирмы от первой стратегии, получаемой в бесконечном периоде, который приведен к текущему моменту времени:

(2)

где 3 - прибыль при цене 10 руб./ед. прод., если другая фирма установит эту же цену;

 - дисконтирующий множитель:  = l/(l+i), i - процентная ставка;

 - вероятность вза­имодействия фирм в следующем периоде (t+1).

Если фирма 2 установит цену 5 в первом периоде, то цена фирмы 1 во втором периоде тоже будет 5, максимальный выигрыш фирмы от применения стратегии низкой цены равен:

(3)

где 4 - прибыль, полученная фирмой 2 при цене 5, при условии, что фирма 1 назначает цену 10;

2 - прибыль фирмы 2 при цен 5, при условии, что фирма 1 назначит цену 5 начиная со второго периода.

Следовательно, выбор оптимальной стратегии фирмы, зависит от наибольшей величины выигрыша.