Лекция 4. Синтез микропроцессорных систем управления методом желаемых частотных характеристик.

4.1. Определение передаточной функции дискретного корректирующего устройства.

Определение ПФ ДКУ осуществляется по желаемой Z - ПФ разомкнутой

^{системы с учетом места установки ДКУ в контуре управления.}

^{Так, структурная схема ИС с последовательной импульсной коррекцией}

представлена на рис.4.1.

_{f y}

^{D(z) W1(p)}

Здесь

_{D(z )}

Рис.4.1.

- ПФ дискретного фильтра,

_{W1 ( p)}

- ПФ приведенной НЧ

исходной системы. Тогда для определения Z – ПФ ДКУ легко получить зависимость

В выражении (4.13)

D(z ) = ^{Wж (z )} . (4.1)

^{W1 (z )}

^Wж ^{(z ) - желаемая ПФ системы, соответствующая желаемым}

_*

ЛАФЧХ

^W_ω ^{( jλ ),}

^W₁ ^{(z )}

^{Z – ПФ исходной системы (располагаемая Z – ПФ).}

Соотношение (4.1) может быть сразу записано и для ПЧХ в виде:

_D^* _{( jλ ) = W} ^* _{( jλ )/W} ^* _{( jλ )}

ку ж 1

_(4.2)

^{H ку ( jλ ) = H ж ( jλ ) − H1 ( jλ ).}

^{Таким образом, псевдочастотная передаточная функция дискретного}

корректирующего устройства при последовательном включении определяется в результате графического вычитания из желаемой ЛАФПЧХ располагаемой ЛАПЧХ.

Переход к z-передаточной функции осуществляется в результате выполнения подстановки в найденную псевдочастотную передаточную функцию дискретного корректирующего устройства:

^{jλ = 2}

^T

^{z − 1}

^{z + 1}

(4.3)

В результате выполнения арифметических преобразований, в итоге получаем z-

_{передаточную функцию ДКУ в виде:}

_{D(z ) =}

a_m z ^m n

^{+ … + a1 z + a0} _.

n − 1

b_n z

+ … + b_{n − 1} z

+ b₀

^{Естественно, что синтез импульсных систем методами ЛАФПЧХ не}

ограничивается только введением в контур управления последовательного ДКУ.

24

Поэтому, в качестве альтернативы рассмотрим один из возможных вариантов включения параллельно ДКУ (рис.4.2).

_D(z)

_{f y}

^W₂ ^(p)

^W ₁ ^(p)

Рис.4.2.

Прежде чем сформировать итоговое выражение для определения передаточной функции параллельного ДКУ. Структурные преобразования показаны на рис.4.3.

D(z)

^W ₁ ^(p)

_{f y}

^W₂ ^(p)

^W ₁ ^(p)

Рис.4.3.

_{Здесь ПФ приведенной НЧ исходной системы определяется ПФ произведением}

^{W1 ( p )W2 ( p ). Тогда определяя ПФ разомкнутой системы и приравнивая ее к}

^{желаемой Z – ПФ Wж(z ), получим:}

где ^W₁

_{(z ) =}

_D{W1

_{(z )}}

^{Wж (z ) = D(z ) ⋅ W1(z ) + W0 (z )}

_;

pT

^{e = z}

(4.3)

^{D(z ) =}

^{D{D( p)}}

_e ^pT _{= z}

;W₀

^{(z ) =}

^D{W1

^{( p)W2}

^{( p)}}

_e ^pT _{= z}

_{Тогда ПФ дискретного фильтра определится зависимостью:}

^{D(z ) = Wж ( z ) − W0 (z )}

^W1^{(z )}

(4.4)

Возможны и другие варианты включения ДКУ в контур управления. Они рассмотрены в ряде учебников.

_{При определении Z - ПФ дискретных фильтров следует обязательно}

проверять условия их физической реализуемости, то есть степень числителя

_{не должна превосходить степень знаменателя.}

^{D(z )}

25

И так, повторим шаги, которые необходимо выполнить при синтезе дискретных систем.

1. Выбираем величину такта квантования сигналов в системе.

_{2. Находим ПФ располагаемой приведенной непрерывной части без коррекции:}

^{W (z) = Z {S( p)W ( p)} .}

^{4. Используя билинейное преобразование, переходим к новой переменной:}

^{z = 1 + w} _,

^{1 − w}

^{то есть определяем W (w) = W (z)}

_{1 + w} .

^{z =}

^{1− w}

^{4. Переходим к псевдочастоте в результате замены w =}

^{5. Строим располагаемые ЛАФПЧХ:}

^{H * ( jλ ) = 20 lg W * ( jλ )}

^{ϕ * ( jλ ) = argW * ( jλ )}

^{6. Строим желаемую ЛАФПЧХ:}

^{jλ T .}

²

6.1. Исходя из требуемой точности строим запретную область (рис.3.1).

6.2. По заданному времени регулирования определяем псевдочастоту среза системы и строим среднечастотный участок ЖЛАФПЧХ.

6.3. Строим высокочастотный участок ЖЛАФПЧХ исходя из того, что он должен повторять аналогичный участок располагаемой ЛАФПЧХ.

6.4. Сопрягаем среднечастотный участок с низкочастотным и высокочастотным участками ЛАФПЧХ.

7. Находим ЛАФПЧХ дискретного корректирующего устройства путем выполнения графического вычитания из желаемой ЛАПЧХ располагаемой.

_{8. Определяем псевдочастотную передаточную функцию корректирующего}

_звена

_{D( jλ ) .}

9. Переходим к Z- передаточной функции ДКУ путем выполнения подстановки (4.15).

4.4. Выбор переменных состояния импульсной системы

Как уже отмечалось, выбор переменных состояния не является единственным и определяется выбором соответствующего базиса.

Рассмотрим выбор переменных состояния синхронных импульсных систем,

заданных своими z- передаточными функциями.

Практически удобным приемом выбора переменных состояния является построение схем моделирования дискретной системы, которые включают в себя элементы задержки на такт и сумматоры. При этом за переменные состояния обычно принимают сигналы на выходах элементов задержки на такт.

26

Существуют три варианта перехода от z- ПФ дискретной системы к уравнениям (5.8) и (5.9).

Это способы прямого программирования, параллельного программирования и последовательного программирования. Рассмотрим все эти способы на примере звена второго порядка:

_{W (z )}

_{Y (z )}

_z ² _{+ az + b}

_{= =}

_{U (z )}

_z ² _{+ cz + d}

(4.5)

4.4.1.Способ прямого программирования.

_{Разделим числитель и знаменатель W (z ) на}

_z ² _{, получим:}

_{W (z ) =}

^{1 + az −1}

^{+ bz −2}

_{. (4.6)}

По определению ПФ:

^{1 + cz −1 + dz − 2}

−1 −2

y(z ) = ^{1 + az}

+ bz

U (z ).

Введем новую переменную

1 + cz⁻¹ + dz ^{− 2}

e(z ) :

e(z ) =

1

_{1 + cz} ^{− 1} _{+ dz} ^{− 2}

U (z );

y(z ) = 1 ⋅ e(z ) + az ⁻¹e(z ) + bz ⁻² e(z );

e (z ) =

U (z ) −

cz ^{− 1} E (z ) −

dz ² E (z )

(4.7)

Учитывая теорему о смещении аргумента решетчатой функции, вспомним,

^{что умножение изображения на}

^{z −1}

^{соответствует смещению (задержке)}

оригинала на 1 такт, на

_z ^{− 2}

- на 2 такта.

Тогда в соответствии с выражением (4.7) схему моделирования можно

_{представить в следующем виде (рис.4.4).}

_U[k] ^{e[k] x}₂

a

^[k] _{x1 [k] y[k]}

_- ^Z-1

^{Z-1 b}

c

d

_Рис.4.4.

В соответствии с правилом, за переменные состояния выбираем выходы задержки на 1 такт.

Уравнение состояния системы можно получить, записывая связь между координатами на выходах элементов задержки. В итоге имеем:

27

^⎧x₁ ^{[k + 1] =}

⎨

x₂ [k ]

_(4.8)

где -

_⎩x₂ [k + 1] = −dx₁ [k ] − cx₂ [k ] + U [k ],

x_i [k + 1] - значения координат в последующем времени.

Так как :

_{и при этом}

^{Y (z ) = (1 + az −1 + bz −2 ) e(z )}

^{x 2 (z ) =}

^x 1 ^{(z ) =}

^{z − 1}

^{z − 2}

^{e (z );}

^{e (z );}

^{e (z ) =}

^{U (z ) −}

^cx ₂ ^{(z ) −}

^dx ₁ ^{(z ),}

то для выходной переменной получим уравнение:

^{y(z ) = 1 ⋅ e(z ) + az −1e(z ) + bz −2 e(z ) =}

^{= e(z ) + ax2 (z ) + bx1 (z ) = U (z ) + (a − c)x2 (z ) + (b − d )x1 (z );}

^{Y [k ] = (b − d )x1 [k ] + (a − c)x2 [k ] + U (k ). (4.9)}

^{Таким образом, разностные уравнения, построенные по передаточной функции}

(4.5) принимают вид (4.8), (4.9), а матрицы A, B, C, D определяются выражениями:

_{⎛ 0 1 ⎞}

_{⎛ 0 ⎞}

_{А = ⎜}

_{⎟ ; В = ⎜ ⎟;}

^{⎝ − d}

^{C = (b − d ,}

^{− с ⎠}

^{a − c)}

^{⎝ 1 ⎠}

^{; D = (1).}

Напомним, что матрицы A, B, C, D определяют систему разностных уравнений,

_{эквивалентных ПФ (4.6):}

^{x[k + 1] = Аx[k ]+ ВU [k ]}

^{y[k ] = Cx[k ]+ DU [k ] .}