34.1.5. Систематические изменения

Рассмотрим таблицу 34.1, где представлены результаты измерений диаметра провода в различных точках вдоль его длины. Как следует поступать, если требуется найти наилучшее значение диаметра и среднеквадратичную ошибку отдельного измерения?

Опять проанализируем поведение двух студентов.

У первого студента нет никаких сомнений. Он знает, что наилучшее значение некоторой величины - среднее из серии измерений, и у него есть формула для вычисления среднеквадратичной ошибки. Он рад стараться и следует указанным правилам. В результате он находит среднее - 1.245 мм и среднеквадратичную ошибку - 0.020 мм.

Таблица 34.1.

Длина, м	Диаметр, мм	Длина, м	Диаметр, мм
0.0	1.259	0.3	1.209
0.0	1.263	0.4	1.214
0.0	1.259	0.5	1.225
0.0	1.261	0.6	1.248
0.0	1.258	0.7	1.258
0.1	1.252	0.8	1.256
0.2	1.234	0.9	1.233

Второй студент замечает, что результаты измерений изменяются не случайным образом и строит график

Рис. 34.3. Изменение диаметра вдоль стержня

Теперь очевидно, что изменения носят некоторый систематический характер. Ему ясно, что среднее по всем измерениям не имеет смысла. При х=0 диаметр измерен 5 раз, так что значение при х=0 было бы взято со слишком большим весом. Поэтому пять значений он заменяет их средним, равным 1.260. Теперь он имеет набор из десяти величин и, взяв их среднее, получает в качестве наилучшей оценку 1.239 мм.

Далее он приходит к выводу, что, поскольку диаметр явно изменяется по длине провода, разброс значений диаметра во всем интервале изменения х не имеет ничего общего со среднеквадратичной ошибкой отдельного измерения.

Чтобы найти последнюю, он определяет разброс пяти значений, полученных при х=0, и в качестве оценки получает величину 0.002 мм. Случайная ли это ошибка или просто сечение провода не круглое при х=0, сказать нельзя, если об измерениях больше ничего не известно.

Нужно отметить еще одно обстоятельство в связи с понятием наилучшего значения диаметра. Поскольку диаметр изменяется систематически, необходимой нам величиной будет не обязательно , т.е. среднее, которое нашел второй студент. Если, к примеру, мы измеряем сопротивление провода и хотим найти удельное сопротивление его материала, то нам нужно найти среднее значение величины , которое вовсе не равно . Правда, в данном случае разница невелика, но в принципе она существует, и поэтому нужно правильно проводить усреднение.

Разберем еще одну ситуацию, которая возникает, когда разброс в серии измеренных величин превышает приписанную им ошибку.

В таблице 34.2 приведены данные измерения скорости звука в воздухе при комнатной температуре.

Таблица 34.2.

Частота, Гц	Скорость, м/сек
1000	346.7
720	341.5
380	339.6
200	338.6
600	342.2

Мы можем предположить, что это измерения длины стоячих волн в резонансной трубке при разных частотах. Допустим, что при каждом значении частоты было проведено большое число измерений, и разброс данных внутри каждой такой серии характеризуется среднеквадратической ошибкой =0.7 м/сек

В подобных случаях многие просто вычисляют среднее значение из пяти результатов и в качестве ошибки среднего находят м/сек

при этом слепо игнорируя то обстоятельство, что три результата из пяти отличаются от среднего на 3 , 4 и 7 . Если величина правильна, то, очевидно, налицо какой-то систематический эффект, и пока он не найден, ни среднему, ни его ошибке не следует придавать большого значения.

Во всех волновых явлениях возможна зависимость скорости от частоты. Такое явление носит название дисперсии. Что касается звуковых волн в воздухе, то тщательные измерения многих экспериментаторов показали отсутствие дисперсии при частотах представленных в таблице. Но в любом опыте с резонансной трубой приходится вводить поправки, которые зависят от частоты. Возможно, что систематическая ошибка в этих поправках и является причиной подобных вариаций.

Поэтому мы строим график. Создается впечатление, что действительно существует корреляция. Следовало бы провести измерения и при других частотах для проверки наблюдаемого эффекта. Если он подтвердится, то придется тщательно исследовать зависящие от частоты поправки. Если же он не подтвердится, то причину придется искать где-то еще.

Этот пример показывает, как поступать в подобных случаях.

Рис. 34.4. Результаты измерения скорости звука при разных частотах.