Распределение вероятности в малых выборках в зависимости от коэффициента доверия t и объема выборки п*

N t	4	5	6	7	8	9	10	15	20	∞
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0	348 608 770 860 933 942	356 626 792 884 946 960	362 636 806 908 955 970	366 644 816 908 959 976	368 650 832 914 963 980	370 654 828 920 966 938	372 656 832 924 968 984	376 666 846 936 975 992	378 670 850 940 978 992	383 683 865 954 988 977
* При п= ∞ в таблице даны вероятности нормального распределения. Для определения вероятности соответствующие табличные значения следует разделить на 1000.

Как видно из табл. 8.9, при увеличении n это распределение стремится к нормальному и при n =20 уже мало от него отличается.

Покажем, как пользоваться таблицей распределения Стьюдента.

Пример. Предположим, что выборочное обследование 10 рабочих малого предприятия показало, что на выполнение одной из производственных операций рабочие затрачивали времени (мин): 3,4; 4,7; 1,8; 3,9; 4,2; 3,9; 4,2; 3,9; 3,7; 3,2; 2,2; 3,9. Найдем выборочные средние затраты:

x¯= (3,4 + 4,7 + 1,8 + … + 2,2 + 3,9)/10 = 3,49 мин.

Выборочная дисперсия

² = (3,4 - 3,49)²+ (4,7 - 3,49)² + … + (3,9 - 3,49)² = 0,713

Отсюда средняя ошибка малой выборки

µмв = корень (0,713/(10-1) = 0,28 мин.

По табл. 8.9 находим, что для коэффициента доверия t = 2 и объема малой выборки n = 10 вероятность равна 0,924. Таким образом, с вероятностью 0,924 можно утверждать, что расхождение между выборкой и генеральной средней лежит в пределах от – 2µ до + 2µ, т. е. разность x-x¯ не превысит по абсолютной величине 0,56 (2 • 0,28). Следовательно, средние затраты времени во всей совокупности будут находиться в пределах от 2,93 до 4,05 мин. Вероятность того, что это предположение в действительности неверно и ошибка по случайным причинам будет по абсолютной величине больше, чем 0,56, равна: 1 - 0,924 = 0,076.

Таблица вероятностей Стьюдента часто приводится в иной форме, нежели в табл. 8.9. Считается, что в ряде случаев такая форма более удобна для практического использования (табл. 8.10).

Таблица 8.10.

Некоторые значения t-распределения Стьюдента

Число степеней свободы	tp
	для одностороннего интервала		для двустороннего интервала
	р = 0,95	р = 0,99	р = 0,95	р = 0,99
3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 60 ∞	2,35 2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,75 1,73 1,70 1,67 1,64	4,54 3,75 3,37 3,14 3,00 2,90 2,82 2,76 2,60 2,53 2,46 2,39 2,33	3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,23 2,13 2,09 2,04 2,00 1,96	5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,35 3,17 2,95 2,85 2,75 2,66 2,58

Из табл. 8.10 следует, что для каждого числа степеней свободы k = n - 1 указана предельная величина t_p , которая с данной вероятностью р не будет превышена в силу случайных колебаний результатов выборки. На основе указанной в табл. 8.10 величины tp определяются доверительные интервалы: x¯-мв и х + мв. Это область тех значений генеральной средней, выход за пределы которой имеет весьма малую вероятность, равную:

q = 1 - р.

В качестве доверительной вероятности при двусторонней проверке используют, как правило, р = 0,95 или р = 0,99, что не исключает, однако, выбора и других р, не приведенных в табл. 8.10.

Вероятности q случайного выхода оцениваемой средней величины за пределы доверительного интервала соответственно будут равны 0,05 и 0,01, т. е. весьма малы. Выбор между вероятностями 0,95 и 0,99 является до известной степени произвольным. Этот выбор во многом определяется содержанием тех задач, для решения которых применяется малая выборка.

В заключение отметим, что расчет ошибок в малой выборке мало отличается от аналогичных вычислений в большой выборке. Различие заключается в том, что при малой выборке вероятность нашего утверждения несколько меньше, чем при большой выборке (в частности, в приведенном ранее примере 0,924 и 0,954 соответственно). Однако все это не означает, что можно использовать малую выборку тогда, когда нужна большая выборка. Во многих случаях расхождения между найденными пределами могут достигать значительных размеров, что вряд ли удовлетворяет исследователей. Поэтому малую выборку следует применять в статистическом исследовании социально-экономических явлений с большой осторожностью, при соответствующем теоретическом и практическом обосновании.

Итак, выводы по результатам малой выборки имеют практическое значение лишь при условии, что распределение признака в генеральной совокупности является нормальным или асимптотически нормальным. Необходимо также принимать во внимание и то, что точность результатов выборки малого объема все же ниже, чем при большой выборке.

Контрольные вопросы по теме: «Выборочное наблюдение».

1. Что называется выборочным наблюдением?

2. Назовите причины, по которым статистика прибегает к выборочному наблюдению.

3. Что является важной особенностью выборочного наблюдения?

4. В чем заключается экономическая целесообразность выборочного наблюдения?

5. Назовите этапы выборочного наблюдения.

6. Дать определение генеральной совокупности.

7. Назовите основные характеристики генеральной и выборочной совокупностей.

8. Какие существуют виды ошибок в выборочном наблюдении?

9. Когда возникают систематические ошибки?

10. Как делятся случайные ошибки?

11. Что называют предельные ошибки?

12. Назовите способы отбора.

13. Раскройте понятие малой выборки.

Тест 1 уровня по теме: «Выборочное наблюдение».

1. Выборочное наблюдение – это вид не сплошного наблюдения

1) Да;

2. Нет.

1. Единицы, из которых производят отбор в выборку составляют:

1) выборочную совокупность;

2) генеральную совокупность.

3. Систематические ошибки возникают в силу не сплошного характера обследования

1) Да;

2) Нет.

4. Отклонение выборочных характеристик от соответствующих характеристик генеральной совокупности, возникающие вследствие нарушения принципа случайности отбора, называются:

1) систематической ошибкой репрезентативности;

2) случайной ошибкой репрезентативности.

5. Отклонение выборочных характеристик от соответствующих характеристик генеральной совокупности, возникающее вследствие не сплошного характера наблюдения, называется:

1) систематической ошибкой репрезентативности;

2) случайной ошибкой репрезентативности.

6. Теорией вероятности доказано, что ошибка бесповторного отбора меньше ошибки повторного отбора в … раз

1) n;

2) √(1-n/N);

3) (1-n/N);

4) √(1-N/n);

7. Отбор, при котором каждая единица изучаемой совокупности имеет одинаковую возможность попасть или не попасть в выборку называется:

1) смешанной;

2) типичной;

3) случайной;

4) механической;

5) серийной.

8. Предельная ошибка – это ошибка с заданной степенью точности

1) Да;

2) Нет.

9. Малая выборка – выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает

1) 40;

2) 20;

3) 10;

4) 30.

10. Случайный отбор может быть повторным и бесповторным

1) Да;

2) Нет.

Ответы к тесту 1 уровня по теме: «Выборочное наблюдение».

1. 1

2. 2

3. 2

4. 1

5. 2

6. 2

7. 3

8. 1

9. 4

10. 1

ТЕСТ К ГЛАВЕ 8

1. Отклонение выборочных характеристик от соответствующих характеристик генеральной совокупности, возникающее вследствие нарушения принципа случайности отбора, называется:

а) систематической ошибкой репрезентативности;

б) случайной ошибкой репрезентативности.

2. Отклонение выборочных характеристик от соответствующих характеристик генеральной совокупности, возникающее вследствие несплошного характера наблюдения, называется:

а) систематической ошибкой репрезентативности;

б) случайной ошибкой репрезентативности.

3. Чтобы уменьшить ошибку выборки, рассчитанную в условиях механического отбора, можно:

а) уменьшить численность выборочной совокупности;

б) увеличить численность выборочной совокупности;

в) применить серийный отбор;

г) применить типический отбор.

4. Средняя из групповых дисперсий в генеральной совокупности составляет 64% общей дисперсии. Средняя ошибка выборки при механическом отборе из этой совокупности будет при одном и том же объеме выборки больше ошибки типической выборки на:

а) 36%;

б) 64%;

в) 25%;

г) предсказать результат невозможно.

5. Проведено собственно-случайное бесповторное обследование заработной платы сотрудников аппарата управления двух финансовых корпораций. Обследовано одинаковое число сотрудников. Дисперсия заработной платы для двух финансовых корпораций одинакова, а численность аппарата управления больше на первой корпорации. Средняя ошибка выборки:

а) больше на первой корпорации;

б) больше на второй корпорации;

в) на обеих корпорациях одинакова;

г) данные не позволяют сделать вывод.

6. Проведено обследование: 1) восьми кафе с целью изучения их санитарного состояния; 2) шести магазинов из 40, переведенных на новый график работы, с целью определения эффективности внедрения нового графика в магазинах города. Выборочным обследованием является:

а) –;

б) 1;2;

в) 1;

г) 2.

7. По данным 10%-ного выборочного обследования дисперсия средней заработной платы сотрудников первого туристического агентства 225, а второго - 100. Численность сотрудников первого туристического агентства в четыре раза больше, чем второго. Ошибка выборки больше:

а) в первом туристическом агентстве;

б) во втором туристическом агентстве;

в) ошибки одинаковы;

г) предсказать результат невозможно.

8. При выборочном обследовании продуктивности скота в фермерских хозяйствах вначале отбирались группы фермерских хозяйств определенного производственного направления, а в отобранных группах - отдельные хозяйства. Этот отбор:

а) серийный;

б) типический;

в) двухступенчатый;

г) двухфазный.

9. При отборе рабочих экспедиторских фирм для обследования причин потерь рабочего времени были заведомо исключены рабочие, имеющие сокращенный рабочий день. Результаты обследования содержат:

а) систематическую ошибку регистрации;

б) систематическую ошибку репрезентативности.

10. На таможенном посту проверено 36% ручной клади пассажиров. Ошибка собственно-случайной бесповторной выборки меньше ошибки повторной выборки на:

а) 10%;

б) 19%;

в) 1%;

г) предсказать результат невозможно.

11. По выборочным данным (2%-ный отбор), удельный вес неуспевающих студентов на IV курсе составил 10%, на III курсе - 15%. При одинаковой численности выборочной совокупности ошибка выборки больше:

а) на IV курсе;

б) на III курсе;

в) ошибки равны;

г) данные не позволяют сделать вывод.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 8

1. Для определения зольности угля месторождения в порядке случайной повторной выборки взято 200 проб. В результате лабораторных исследований установлена средняя зольность угля в выборке 17% при среднем квадратическом отклонении 3%. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится средняя зольность угля месторождения.

Ответ: 16,6% ≤ х ≤17,4%.

2. Статистическим управлением города для изучения общественного мнения о работе РЭУ в порядке механического отбора было опрошено 6400 человек, или 1% общей численности городского населения. Из числа опрошенных 3840 человек положительно оценили работу РЭУ. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится доля лиц, положительно оценивающих работу РЭУ.

Ответ: 0,582 ≤ р ≤ 0,618.

3. С целью выявления удельного веса простоев из-за несвоевременного поступления комплектующих изделий на АО "Монолит" было проведено моментное наблюдение 20% рабочих четырех цехов. Внутри цехов отбор рабочих производился с помощью механической выборки. В результате были получены следующие данные:

Цех	Объем выборки, человек	Удельный вес простоев по причине несвоевременного поступления комплектующих изделий, %
1 2 3 4	14 36 30 20	15 10 2 5

С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится доля простоев по причине несвоевременного поступления комплектующих изделий.

Ответ: 0,4% ≤ р ≤14,2%.

4. При определении средней продолжительности поездки на работу планируется провести выборочное обследование населения города методом случайного бесповторного отбора. Численность работающего населения города составляет 170,4 тыс. человек. Каков должен быть необходимый объем выборочной совокупности, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 5 мин при среднем квадратическом отклонении 25 мин.

Ответ: 100 человек.

5. В коммерческом банке 160 персональных компьютеров 4 типов, в том числе I типа - 32, II типа - 48, III типа - 64, IV - 16. В целях изучения эффективности их использования предполагается организовать выборочное обследование на основе типической пропорциональной выборки. Отбор внутри типов ПЭВМ механический. Какое количество компьютеров необходимо отобрать, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала 5 единиц ПЭВМ? По материалам предыдущего обследования известно, что дисперсия типической выборки равна 729.

Ответ: 25 компьютеров, в том числе I типа - 5; II типа - 8; III типа - 10; IV типа-2.

6. Для контроля всхожести партия семян была разбита на 25 равных по величине серий. Затем на основе случайного бесповторного отбора было проверено на всхожесть 5 серий. В результате установлено, что процент взошедших семян составляет 68. Межсерийная дисперсия равна 400. С вероятностью 0,683 определите пределы, в которых находится доля взошедших семян всей партии.

Ответ: 60% ≤ р ≤ 76%.