Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tema 5.doc

Скачиваний:

Добавлен:

21.09.2019

Размер:

269.31 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Тема 5. «Средние величины и показатели вариации»

Студент должен:

знать значимость, сущность, виды средних величин, причины и методы изучения вариации признаков;
уметь исчислять различные виды средних величин с учетом исходной информации; показатели вариации; делать вывод о характере статистической закономерности.

Самостоятельная работа:

1. Составить опорный конспект по теме.

План:

Средняя величина, сущность, определение, виды.
Средняя арифметическая, ее свойства. Другие виды средних. Мажорантность средних.
Понятие о структурных средних. Мода и медиана, квартили, децили. Их смысл, значение, способы вычисления.
Понятие о вариации. Причины, порождающие вариации признаков. Абсолютные и относительные показатели вариации.
Дисперсия, виды дисперсий. Правило сложения дисперсий.
Средняя величина и дисперсия альтернативного признака.

1. Средняя величина, сущность, определение, виды.

В результате группировки единиц совокупности по величине варьирующего признака получают ряды распределения – первичную характеристику массовой статистической совокупности. Чтобы охарактеризовать такую совокупность в целом, часто пользуются средней величиной.

Средняя величина – это обобщающая характеристика однородной совокупности явлений по определенному признаку.

Метод средних величин заключается в замене индивидуальных значений варьирующего признака единиц наблюдения, т.е. в замене x₁, x₂, …x_n некоторой уравненной величиной .

Следовательно, средняя величина – значение варьирующего признака, которое одним числом характеризует изучаемую совокупность.

При определении средних величин взаимопогашаются случайные отклонения влияния случайных факторов, в средней проявляется основная тенденция этого явления.

При расчете средних величин должны выполняться три условия:

средняя должна определяться для качественно однородной совокупности. Для этого используют метод группировки;
правильно выбрать формулу расчета;
необходимо определить средний размер по отдельным частям совокупности, которые более однородны, чем вся совокупность.

Виды средних:

1) средняя арифметическая (простая и взвешенная);

2) средняя гармоническая (простая и взвешенная);

3) средняя квадратическая; кубическая…;

4) средняя геометрическая.

В се перечисленные виды средних относятся к группе степенных.

5) мода

структурные средние

6) медиана

7) средняя хронологическая

2. Средняя арифметическая, ее свойства. Другие виды средних. Мажорантность средних.

Самым распространенным видом средней, применяемой в социально-экономическом анализе, является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая используется тогда, когда по экономическому содержанию искомой величины есть информация для знаменателя.

Когда данные знаменателя равны между собой, то применяется средняя арифметическая простая (невзвешанная):

где

нвзв – средняя арифметическая простая

Xi - варианта искомой величины

n – число вариантов

Средняя арифметическая простая равна частому от деления суммы индивидуальных значений признака на их количество.

Применяется в расчетах по несгруппированным данным.

Если данные знаменателя не равны между собой, то используется средняя арифметическая взвешенная. Она применяется при расчетах по сгруппированным данным.

Средняя арифметическая взвешенная равна сумме произведений вариант (Xi) на их частоты или веса (Fi), поделенной на сумму частот:

где взв – средняя арифметическая взвешенная

Xi – варианта искомой величины

Fi – частота

Рассмотрим пример расчета невзв.

Дано: Товарооборот магазина «Одежда» составил в январе – 2600 тыс.р., в феврале – 2900 тыс.р., в марте – 3400 тыс.р.

Определить среднемесячный объем товарооборота в I квартале.

Применяем формулу средней арифметической простой:

(р)

Рассмотрим пример использования формулы …

Исчислить среднюю заработную плату одного работника по следующим данным:

Таблица…

Штатное расписание магазина «Одежда»

Категории работников	Количество работников, чел.	Оклад, руб.
Директор	1	8000
Завотделом	3	6000
Продавец	12	5000
Уборщик	2	3000
Грузчик	2	4000
Итого	20	-

(р.)

При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов примыкающих к ним (второго и последнего), а затем используем среднюю арифметическую взвешенную.

Таблица …

Распределение работников предприятия по возрасту

Возраст, лет	Количество работников, чел.	Середина интервала	XiFi
До 25	7	22,5	7 ×22,5=157,5
25-30	13	27,5	13× 27,5=357,5
30-40	38	35	28× 35=1330
40-50	42	45	42 ×45=1890
50-60	16	55	16 ×55=880
Свыше 60	5	65	5× 65=325
Итого	121	-	4940

(г)

Средняя арифметическая обладает рядом средств, знание которых необходимо для понимания сущности средних, а также для упрощения их вычисления:

1. Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумма средних арифметических величин:

Если Xi+Yi+Zi, то

2. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений варьирующего признака от средней равна нулю, т.к. сумма отклонений2 в одну сторону погашается суммой отклонений в другую сторону, т.е.

3. Если варианты ряда уменьшить или увеличить на одно и то же число а, то средняя уменьшится или увеличится на это же число а:

4. Если варианты ряда уменьшить или увеличить в A раз, то средняя также уменьшится или увеличится в A раз:

5. Если все частоты ряда разделить или умножить на одно и то же число d, то средняя не изменится:

Позволяет вместо реальных частот использовать их частности, т.е. удельные веса. На 3 и 4 свойствах основан упрощенный способ расчета средних величин, называемый способом моментов.

Задача:

Данные о стаже работников магазина представлена в таблице …

Определить стаж работы способом моментов

Группа работников по стажу, лет	Количество работников, чел. Fi	Середина интервала Xi	Xi-a
До 3	5	1,5	-9	-3	-15
3-6	2	4,5	-6	-2	-4
6-9	4	7,5	-3	-1	-4
9-12	7	10,5	0	0	0
Свыше 12	2	13,5	3	1	2
Итого	20	-	-	-	-21

В данной задаче представлен интервальный ряд распределения. Его нужно выразить дискретно, т.е. определить середину интервала. За а принимают размер варианта при наибольшей частоте, за k – размер интервала при наибольшей частоте.

В нашем примере а=10,5, k=3

(г)

Существуют и другие виды средних. Средняя гармоническая используется тогда, когда по экономическому содержанию есть информация для числителя. Если данные числителя не равны между собой, то используется средняя гармоническая взвешенная.

где Mi=XiFi (произведение варианты на частоту).

Средняя гармоническая простая (невзвешанная) – это частный случай средней гармонической взвешенной. Используется тогда, когда данные числителя равны между собой. Применяется редко.

, где n – число вариантов

Задача.

Определить среднюю урожайность с/х культуры

Таблица…

Область	Валовой сбор, тыс.тн Mi	Урожайность, ц/га Xi
Белгородская	97	16,1	60,2
Воронежская	204	9.5	214,7
Курская	0,5	4,8	1,0
Липецкая	16	10,9	14,7
Тамбовская	69	7,0	98,6
Итого	386,5	-	389,2

(ц/га)

Средняя гармоническая применяется для расчета средних темпов роста. Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента роста будет иметь вид

Средняя гармоническая равна корню степени n из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего.

Средний коэффициент роста можно определить также по данным последнего и первого уровней ряда.

где Yn – последний уровень ряда

Y1 – начальный уровень ряда

n – число лет.

Приведенные формулы идентичны, но одна применяется в тех случаях, когда имеются текущие коэффициенты или темп роста, а вторая – когда имеются абсолютные значения начального и конечного уровней ряда.

Средняя квадратическая. В этих случаях, когда осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций, применяется средняя квадратическая. Так, средние диаметры колес, труб, стволов, средние стороны квадратов и др. определяются при помощи средней квадратической. Средняя квадратическая используется для расчета показателей вариации.

Средняя квадратическая простая рассчитывается путем извлечения квадратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их числа:

Средняя квадратическая взвешенная равна:

, где F-веса

Для расчета средних остатков товаров, среднесписочной численности работников, средней стоимости имущества может применяться средняя хронологическая.

где n – число периодов.

Задача. Рассчитать среднесписочную численность работников, если на 01.01 – 18 чел., на 01.02. – 20 чел., на 01.03 – 22 чел., на 01.04 – 16 чел.

(чел.)

Следующее соотношение называется правилом мажорантности средних:

Пользуясь этим правилом статистика может в зависимости от настроения и желания ее «знатока» либо «утопить», либо «выручить» студента, получившего на сессии оценки 2 и 5. Каков его средний балл?

Если судить по средней арифметической, то средний балл равен 3,5. Но если декан желает «утопить» несчастного и вычислить среднюю гармоническую

то студент остается и в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки. Однако студенческий комитет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину:

Студент уже выглядит «хорошистом» и даже претендует на стипендию! И только в том случае, если лентяй провалил оба экзамена, статистика помочь не в состоянии: увы, все средние из двух двоек равны все той же двойке!

3. Понятие о структурных средних. Мода и медиана, квартили, децили. Их смысл, способы вычисления.

Для характеристики величины варьирующего признака пользуются так называемыми структурными средними – модой и медианой.

Мода – это вариант, наиболее часто встречающийся в данной статистической совокупности.

В дискретном ряду распределения мода – это вариант, имеющий наибольшую частоту.

Медиана – значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда. По сгруппированным данным вначале определяют медианное значение признака:

где n – число единиц в исследуемой совокупности.

Задача.

Стаж работы (Xi) 5 6 7 8 9 10

Число сотрудников (Fi) 43 32 25 13 10 7

Определить:

1. Средний стаж работы;

2. Моду и медиану.

Средний стаж работы определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

Мода – 5 лет, т.к. данный стаж работы имеет наибольшую частоту – 43 чел.

Медианное значение признака:

Медиана – 6 лет…

В интервальном ряду распределения мода определяется по формуле:

где X₀ – нижняя граница модального интервала

k – размер этого интервала

f₂ – частота модального интервала

f₁ – частота предмодального интервала

f₃ – частота послемодального интервала

Группа магазинов по товарообороту, тыс.р.	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100	100-110	110-120	120-130	130-140
Число магазинов	2	4	7	10	15	20	22	11	6	3

Модальный интервал – 100-110

Для установления медианного интервала необходимо определить накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит половины накопленных частот.