5. Дисперсия, виды дисперсий. Правило сложения дисперсий.
Вариацию сгруппированных данных можно изучить с помощью трех показателей колеблемости: общей, межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.
Групповая дисперсия определяется по формулам:
Внутригрупповая (средняя из групповых) дисперсия характеризует меру колеблемости признака за счет всех факторов, кроме одного, положенного в основу группировки. Определяется как средняя из групповых. Носит название остаточной:
Межгрупповая (факторная) дисперсия измеряет вариацию за счет фактора, положенного в основу группировки и определяется по формуле:
Общая дисперсия характеризует общую вариацию признака под влиянием всех условий, всех причин, вызывающих эту вариацию.
Дисперсия обладает рядом свойств:
1. Если все варианты в ряду распределения разделить на некое произвольное постоянное число K, то дисперсия уменьшится в квадрат этого K.
2. Дисперсия, рассчитанное относительно величины а будет больше дисперсии, рассчитанной относительно своей средней величины на квадрат разности между средней и этой величиной а.
Данные свойства позволяют вывести новые формулы определения дисперсии способом моментов (упрощенным).
6. Средняя величина и дисперсия альтернативного признака
В ряде случаев возникает необходимость измерить вариацию альтернативного признака.
Обозначив отсутствие интересующего нас признака через 0, его наличие – через 1, долю единиц, обладающих данным признаком – через Р, не обладающих – через q, исчислим среднее значение альтернативного признака и его дисперсию.
p + q = 1
q = 1 – p.
Средняя величина альтернативного признака равна доле единиц, обладающих этим признаком.
Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих этим признаком на долю единиц не обладающих этим признаком.
Задача.
При изучении успеваемости студентов техникума оказалось 3% неуспевающих, определить среднюю неуспеваемость и дисперсию неуспеваемости.
Показатель |
x |
f |
Неуспевающие |
1 |
p = 0,03 |
Успевающие |
0 |
q = 0,97 |
т.е.
доля единиц, обладающих этим признаком,
т.е. 0,03 или 3%
(дисперсия альтернативного признака)
Из расчетов следует, что средняя неуспеваемость составила 3%, дисперсия – 0,0291.
Контрольные вопросы по теме «Средние величины и показатели вариации»
1. Дать определение средней величины.
2. Какие формы средней вы знаете?
3. В каких случаях простая (невзвешанная) средняя?
4. Что такое средняя гармоническая?
5. На чем основывается выбор вида средней?
6. Что характеризует мода и медиана?
7. Как определяется мода и медиана для дискретного ряда?
8. Как определяется мода и медиана для интервального ряда?
9. Какими свойствами обладает средняя арифметическая?
10. В чем заключается мажорантность средних?
11. Для чего применяется средняя геометрическая?
12. Что такое вариация признака?
13. Перечислите абсолютные показатели вариации.
14. Перечислите относительные показатели вариации.
15. Понятие дисперсии, ее виды
16. В чем смысл правила сложения дисперсий?
Тест I уровня по теме 5, вопрос «Средние величины»
Выбрать правильный ответ |
Ответы: |
1. Средняя величина – это обобщающая характеристика однородной совокупности явлений по определенному признаку. |
1. Да 2. Нет |
2. К структурным средним относятся: |
1. Средняя хронологическая 2. Мода 3. Средняя квадратическая 4. Медиана |
3. Средняя арифметическая взвешенная рассчитывается по сгруппированным данным |
1. Да 2. Нет |
4. Средняя геометрическая используется для расчета показателей вариации |
1. Да 2. Нет |
5. К средним степенным относятся: |
1. Медиана 2. Средняя арифметич. 3. Средняя кубическая 4. Мода |
6. Средняя арифметическая невзвешанная рассчитывается по несгруппированным данным |
1. Да 2. Нет |
7. Средняя гармоническая – величина обратная средней арифметической |
1. Да 2. Нет |
8. Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле: |
2. |
9. Средняя арифметическая взвешенная рассчитывается по формуле: |
1. 2.
3.
|
10. Средняя арифметическая простая равна частному от деления суммы индивидуальных значений признака на их количество |
1. Да 2. Нет |
11. Средняя арифметическая используется тогда, когда по экономическому содержанию искомой величины есть информация для … |
1. Числителя 2. Знаменателя 3. Произведения |
12. Если данные знаменателя не равны между собой, то используется… |
1. Ср. арифметическая взвешенная 2. Ср. арифметическая невзвешанная 3. Ср. гармоническая взвешенная 4. Ср. гармоническая невзвешанная |
13. Средняя гармоническая используется тогда, когда, по экономическому содержанию есть информация для … |
1. Числителя 2. Знаменателя 3. Частного от деления |
14. Средний коэффициент роста можно определить по формуле: |
1.
2.
3.
|
15. Средняя квадратическая используется для расчета… |
1. Ср. коэффициента роста 2. Показателей вариации 3. Ср. абсолютного прироста |
16. Средняя квадратическая простая рассчитывается по формуле: |
1.
2.
3.
|
17. Мода – вариант, имеющий наибольшую частоту |
1. Да 2. Нет |
18. В интервальном ряде распределения мода определяется по формуле |
1.
2.
3.
|
19. Значение признака, делящие ряд на сто частей – это … |
1. Перцентили 2. Децили 3. Квартили 4. Медиана |
20. Квартили – значение признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равновеликие части |
1. Да 2. Нет |
Тест I уровня по теме «Показатели вариации»
1. Колеблемость признаков измеряется показателями вариации |
1. Да 2. Нет |
2. Существую абсолютные и … показатели вариации |
|
3. Определить вид дисперсии по формуле:
|
1. Общая 2. Остаточная 3. Межгрупповая |
4. Коэффициент вариации определяется по формуле: |
1.
2.
3.
|
5. Вариацию сгруппированных данных можно изучить с помощью следующих показателей колеблемости |
1. Общей дисперсии 2. Коэффициента вариации 3. Ср. квадратического отклонения |
