Малая выборка

В процессе оценки степени представительности данных выборочного наблюдения важное значение приобретает вопрос об объеме выборочной совокупности п. От него зависит не только величина пределов, которые с данной вероятностью не превзойдет ошибка выборки, но и способы определения этих пределов.

При большом числе единиц выборочной совокупности (n > 100) распределение случайных ошибок выборочной средней в соответствии с теоремой А. М. Ляпунова нормально или приближается к нормальному по мере увеличения числа наблюдений. Вероятность выхода ошибки за определенные пределы оценивается на основе таблиц интеграла Лапласа. Расчет ошибки выборки базируется на величине генеральной дисперсии а²_ген, так как при больших п коэффициент n/(n-1), на который для получения генеральной умножается выборочная дисперсия, большой роли не играет.

Однако в практике статистического исследования в условиях рыночной экономики все чаще приходится сталкиваться с небольшими по объему так называемыми малыми выборками. Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30. В настоящее время малая выборка используется более широко, чем раньше, прежде всего за счет статистического изучения деятельности малых и средних предприятий, коммерческих банков, фермерских хозяйств и т. д. Их количество в определенных случаях, особенно при региональных исследованиях, а также величина характеризующих их показателей (например, численность занятых) часто незначительны. Поэтому хотя общий принцип выборочного обследования (с увеличением объема выборки повышается точность выборочных данных) остается в силе, иногда приходится ограничиваться малым числом наблюдений. Наряду со статистическим изучением рыночных структур эта необходимость возникает при выборочной проверке качества продукции, в научно-исследовательской работе и в ряде других случаев.

Разработка теории малой выборки была начата английским статистиком В. С. Госсетом (печатавшимся под псевдонимом Стьюдент) в 1908 г. Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения.

При оценке результатов малой выборки величина генеральной дисперсии в расчетах не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются так называемым критерием Стьюдента, определяемым по формуле

T=(x-x¯)/мв

(8.26)

где µмв=/(n-1)- мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборке.

Величина  вычисляется на основе данных выборочного наблюдения. Она равна:

=(xi-x)²/n

(8.27)

Данная величина используется лишь для исследуемой совокупности, а не в качестве приближенной оценки а в генеральной совокупности. При небольшой численности выборки распределение Стьюдента отличается от нормального: большие величины критерия имеют здесь большую вероятность, чем при нормальном распределении.

Предельная ошибка малой выборки (мв) в зависимости от средней ошибки (мв) представлена как

Dмв=t*mмв

(8.28)

Но в данном случае величина t иначе связана с вероятной оценкой, чем при большой выборке. Как указывалось ранее, английский ученый В. С. Госсет доказал, что при малой выборке действует особый закон распределения. Согласно распределению Стьюдента, вероятная оценка зависит как от величины t, так и от объема выборки в случае, если предельная ошибка не превысит t-кратную среднюю ошибку в малых выборках. Приведем выдержку из таблицы распределения Стьюдента (табл. 8.9).

Таблица 8.9