40. Вылічэнне плошчы абсягу на паверхні.

Плошчы абсягу D на гладкай параметрызаванай паверхнасці абмежаванага галдкім ці кускова гладкім контурам і гамеаморфнага крушу наз. лік , дзе , а - правобраз абсягу у плоскасці параметраў .

Заўвага 1: Велічыня наз. элем. плошчы параметрызаванай паверхні , - кіроўныя вектары каардынатных ліній адпаведна ў . Т.ч. есць плошча параллелаграма, пабудаванага на вектарах . Гэты параллелаграм ляжыць у дачыненні плоскасці Т да крывой у п. , і яго плошча прыблізна роўна плошчы крывалін. чатырохвугольніка на паверхні , абмежаванага лініямі . Набліжэнне тым больш дакладна, чым меньш .

Заўвага 2: Азначэнне карэктна ў тым сэнсе, што інварыянтна адносна выбару параметрызаванай паверхні, г. зн., калі - параметр. паверхні эквів. параметрызацыі , тады вылічваючы па дадзенай формуле адносна парам атрымаем той жа вынік, што і адносна парам , для абгрунтавання выкарыстоўваем правіла замены парам. ў дваўным інтэграле.

41. Другая квадратычная форма параметрызава-най паверхні.

Другой квадратычнай формай гладкай параметрызава-най паверхні класа наз. выраз: .

Заўвага: форму можна перапісаць па-іншаму: .

Паколькі , тады , дыферынцуючы будзем мець . Адкуль маем .

Запіс формы ва ўнутранных каардынатах.

Маем

- сіметрычная квадратычная форма адносна *, праўда, знаканевызначаная у адрозненні ад .

Запіс формы у класічных (гаўсавых) каардынатах.

,

дзе

43. Нармальная крывізна паверхні. Яе геаметрычны сэнс. К_n(ﻻ)׀_p=φ₂/φ₁=f(u,v,du,dv).

Адсюль вынікае, што калі п.P(u,v) фіксаваны для ўсіх крывых на паверхні (Г, ), якія праходзяць праз пункт Р у адным і тым жа напрамку (du,dv), г.зн. d = _udu+ _vdv, іншымі словамі якія маюць адзіную датычную прамую l з кіроўным вектарам d нармальныя крывізны аднолькавыя. Гэтае дае выснову для вывядзення велічыні, якая характарызуе скрыўленасць самой паверхні Г у п.Р у дадзенным напрамку.

Нармальнай крывізной паверхні Г у ея пункце Р у дадзенным напрамку наз. агульнае значэнне нармальных крывізн усіх крывых на пав-ні Г, якія праходзяць праз п.Р у гэтым напрамку. Калі пав-ня Г параметрызаваная в.-ф. гэты напрамак можна вызначыць в-рам d і абазн. k_n(d ). Калі Г не параметрызаваная тады напрамак можна задаць датычнай прамой l у п.Р і абазн. k_n(l). апошняе абазначэнне карэктнае таму што k_n(d )=k_n(-d ).

Тэарэма. Нармальнуя крывізну k_n(d ) у п.Р(u,v) пав-ні (Г, ) у напрамку d можна вылічыць па формуле

k_n(d )׀_р=φ₂/φ₁.

Нармальным сячэннем пав-ні Г у п.Р у напрамку яе датычнай прамой l, што праходзіць праз п.Р наз. лінія на пав-ні Г, па якой яе перасякае плоскасць, якая праходзіць праз нармаль n пав-ні Г у п.Р і прамую l.

Калі вярцець датычную прамую l у датычнай плоскасці Т паверхні Г у п.Р вакол п.Р атрымаем сям’ю пав-ні у гэтым пункце.

Крывізна кожнага нармальнага сячэння з гэтай сям’і характарызуе крыўленне пав-ні у п.Р у адпаведным напрамку.

Сцв. Нармальная крывізна k_n(l) пав-ні Г у п.Р у напрамку l з дакладнасцю да знака роўна крывізне k_nc нарм. сячэння пав-ні Г, што праходзіць праз п.Р у напрамку l

k_n(l)׀_p= k_nc(l)׀_p.

Доказ: нармальнае сячэнне – плоская крывая, таму орт яе галоўнай нармалі калінеарны орту пав-ні Г. Гэта значыць, што вугал = ^ =0 ці =π, cos = 1, таму

k_n(l)= k_nc(l)cos = k_nc(l). ⊠

44. Амбілічныя і неамбілічныя пункты пав-ні. Галоўныя крывізны. k_n(d )׀_p=f(u,v,du,dv). Калі Р фіксаваны пункт, тады атрымаем ф-цыю ад 2 пераменных du,dv (du²+dv²≠0). Магчымы 2 выпадкі: 1)калі k_n(d )=const du,dv амбілічны; 2) k_n(d )≠const.

Амбілічным пунктам пав-ні наз. такі яе пункт ва ўсіх напрамках у якім нармальныя крывізны пав-ні аднолькавыя. Амбілічныя пункты могуць быць двух тыпаў. Калі у п.Р у кожным напрамку d нармальная крывізна k_n(d )=0 амбілічны пункт наз. пунктам сплашчэння. Калі у амбілічным п.Р у кожным напрамку d , k_n(d )=const≠0 гэты пункт наз. шаравым ці сферычным. Відавочна ўсе пункты пл-сці – амбілічныя пункты сплашчэння, усе пункты сферы – сферычныя амбілічныя пункты.

Сцв. 1) пункт сплашчэння пав-ні хар-ецца роўнасцямі L=M=N=0. 2) сферычны пункт хар-ецца дачыненнямі

= .

Галоўнамі крывізнамі пав-ні Г ў яе амбелічным пункце наз. найменш. і найбол. з ўсіх нармальных крывізнаў пав-ні ў гэтым пункце. У кожным неамбілічным пункце існуюць роўна дзве галоўныя крывізны.

Тэарэма. Галоўныя крывізны у неамбілічным пункце гладкай параметразаванай пав-ні класа С² задавальняюць раўнанню

ці што тое самае

(EG-F²) k_n²-(LG-2MF+NE) k_n+(LN-M²)=0.

Доказ: у фіксаван. п.Р(u,v)⋴(Г, ) нармальная крывізна

k_n(d )= φ₂/φ₁ і такім чынам прадстаўляе сабой ф-цыю двух пераменных du,dv (du²+dv²≠0) калі гэтая ф-цыя дасігае экстрымальных значэнняў адпаведна дастатковай умове экстрэмума ф-цыі двух пераменных будзем мець

. Таму маем

(

Па прадпалажэнню гэта аднароднае лінейнае адносна du,dv сістэма мае ненулявое рашэнне. Таму яе вызначальнік роўны нулю.

. ⊠

Палучанае раўнанне наз. характарыстычным раўнаннем для знаходжання галоўных крывізн. У неамбілічным пункце яно мае два кораня – наім. і наіб. з нармальных крывізн у гэтым пункце, якія абазначаюцца звычайна праз k₁, k₂.

46. поўная (гаўсава) і сярэдняя крывізны паверхняў. Поўнай (гаўсавай) крывтзнай пав-ні Г у яе п.Р наз. здабытак k яе галоўных крывізн k₁, k₂ вылічаных у гэтым пункце: K= k₁k₂ (1)

Сярэдняй крывізной пав-ні Г у яе пункце Р наз. паўсума Н яе галоўных крывізнаў k₁, k₂ вылічаных у гэтым пункце: Н= (k₁+ k₂). (2)

Формулы для вылічэння К і Н.

Выкарыстаем тэарэму Віета для хар-нага раўнання будзем мець К= k₁k₂= (3)

H= (k₁+k₂)= (4)

Атрымыем формулы, якія наадварот выражаюць галоўныя крывізны k₁, k₂ праз К і Н. запісваючы хар-нае раўнанне у выглядзе

k² –

і выкарыстоўваючы ф-лы (3),(4) будзем мець k²-2Hk+K=0 (5)

Такім чынам k_1,2=H (6)

Заўвага:вмдавочна signK=sign(LN-M²). (EG-F²>0)

47. Класіфікація пунктаў рэгулярных пав-няў. Будова пав-няў у наваколлях пунктаў розных тыпаў. Пункт Р параметрызаваннай пав-ні (Г, ) наз. эліптычным калі ў ім К(Р)>0 (поўная крывізна К дадатная). Паколькі signK=sign(LN-M²) эліптычны пункт пав-ні хар-ецца няроўнасцю LN-M²>0. Улічваючы, што К= k₁k₂ ,атрымоўваецца, што у эліптычным пункце k₁>0, k₂>0 ці k₁<0, k₂<0, г.зн. што эліптычным пункце галоўныя нармальныя сячэнні загнуты ў адзін бок.

У наваколлі эліптычнага пункта пав-ні Г размешчана па адзін бок ад сваёй датычнай пл-сці Т і мае з ёй адзін агульны пункт – пункт дотыку.

Такім чынам ў наваколлі эл. Пункта пав-ня нагадвае эліптычны парабалоід.

Гіпербалічным пунктам параметрызаванай пав-ні (Г, ) наз. такі яе пункт Р, у якім поўная крывізна К адмоўная, г.зн. К(Р)<0, ці што тое самае LN-M²<0. Галоўныя нармальныя сячэнні пав-ні у яе гіпербалічным пункце загнутыя у розныя бакі. У наваколлі гіпербал. пункта Р пав-ня Г нагадвае гіпербалічны парабалоід. Яна перасякае сваю датычную пл-сць Т у гэтым пункце па крывой для якой п.Р з’яўл. асаблівым.

Пункт Р наз. парабадічным калі у ім К(Р)=0 LN-M²=0

Т.ч. К= k₁k₂=0. Тут магчымы два выпадкі: 1. Калі ў парабалічным пункце Р k₁=k₂=0, тады і усе іншыя нармальныя крывізны k_n=0 ці k_n(P)=const=0. У гэтым выпадку Р – амбілічны пункт сплашчэння, які хар-ецца роўнасцямі L=M=N≠0. Будова пав-няў у наваколлі пункта сплашчэння можа быць разнастайнай у найпрасцейшым выпадку калі усе пункты наваколля – пункты сплашчэння яно будзе часткай пл-сці. На пав-ні можа знаходзіцца таксама ізаляваны пункт сплашчэння.

Пункты сплашчэння на пав-ні могуць утвараць і цэлыя крывыя.

2. Калі у парабалічным пункце Р ці k₁=0, k₂≠0 ці k₁≠0, k₂=0. Такі парабалічны пункт наз. уласным парабалічным і у ім LN-M²=0 і L²+M²+N²≠0.

49. Паверхні знакапераменнай, знакапастаяннай і пастаяннай поўнай крывізны. Пав-ні можна сістэматызаваць адпаведна як размяркоўваюцца на іх пункты розных тыпаў.(1) Паверхні знакапераменнай поўнай крывізны – гэта пав-ні, на якіх прысутнічаюць пункты усіх трох тыпаў: эліптычныя (k>0), гіпербалічныя (k<0), парабаліцныя (k=0). Часта часткі пав-няў, якія складаюцца з эліптычных і гіпербалічных пунктаў аддзяляюцца адна ад другой лініямі якія складаюцца з парабалічных пунктаў. Прыклад. “паверхня звон”

Пункт Р, які ляжыць на восі вярчэння можа быць эліптычным, сферычным ці парабалічным пунктам сплашчэння ці ў ім крывізна К можа быць не вызначана зусім.

(2) Пав-ні знакапастаяннай крывізны – гэта пав-ні, якія складаюцца цалкам ці з эліптычных пунктаў ці цалкам з гіпербалічных пунктаў. Прыклад: пав-ні знакапастаяннай крывізны 2-ога парадку. Эліптычнага тыпу: эліпсоід(сфера), двуполасцевы гіпербалоід, эліптычны парабалоід. Гіпербалічнага тыпу: аднаполасцевы гіпербалоід, гіпербалічны парабалоід.

Сцв. Поуная крывізна К у кожным пункце мінімальнай пав-ні недадатная. На самай справе ў ім

Н=0⟹ (k₁+k₂)⟹k₂=-k₁⟹К=k₁k₂=-k₁≤0.

Найпрасцейшая мінімал. пав-ня - пл-сць ці яе частка ў кожным яе пункце К=Н=0 (k₁=k₂=0).

Сярод пав-няў вярчэння адзінай мінім. пав-няй з’яўл. катэноід (К<0,H=0).

Сярод лінейчатых пав-няў (акрамя пл-сці) адзінай мінім. пав-няй з’яул. Прамы гелікоід.

(3) пав-ні пастаяннай крывізны – гэта пав-ні ўздоўж якіх К=const. яны могуць быць эліпт., гіпербаліч. І парабаліч. тыпу. Найпрасцейшымі пав-нямі пастаяннай поўнай крывізны з’яўл.: 1. Пл-сць. У кожным яе пункце К= k₁k₂ =0(парабалічнага тыпу).

2. Сфера радыуса R. У кожным яе пункце

К= k₁k₂ = = const>0(эліптычнага тыпу).

3. Псеўдасфера радыўса R – пав-ня вярчэння трактрысы вакол яе асімптот. У кожным яе пункце К= .

Пав-ні пастаяннай поўнай крывізны нулявога парадку: эліптычны цыліндр гіпербалічны цыліндр

парабалічны цыліндр конус другога парадку

52. Асноўная тэарэма тэорыі паверхняў(тэарэма Банэ). Тэарэма Банэ. Няхай у аднасвязным абсяге Д пл-сці зададзены дзве квадратычныя формы

E(u,v)du²+2F(u,v)dudv+G(u,v)dv² і

L(u,v)du²+2M(u,v)dudv+N(u,v)dv², першая з якіх дадатна вызначаная, прычым каэфіц. E, F, G, L, M, N– непарыўна дыферыцав. Ф-цыі ў абсяге Д і звязаныя райнаннямі Гаўса і Петэрсона-Кадацы. Тады ў пр-ры існуе з дакладнасцю да руху адзіная пав-ня, для якой зададзены формы з’яўл. адпаведна першай і другой квадратычнай формамі пры некаторай яе параметрызацыі.

53. Геадэзічныя лініі. Геадэз. крывізна k_g=ksinθ.(1)

Геадэзічнай лініяй на пав-ні наз. крывая у кожным пункце якой яе гедэзічная крывізна роўна 0.Сцв.1. калі на пав-ні размешчана прамая, яна з’яўл. яе геадэз. лініяй.На самай справе, у кожным пункце крывой, крывізна k=0, тады k_g=0 sin =0.Заўвага. Прамая на пав-ні з’яўл. яшчэ і асімптатычнай лініяй. Гэта вынікае з ф-лы k_n=kcosθ⟹k_n=0. З дапамогай ф-лы (1) атрымаем геаметрычны крытэр геадэзічнай лініі.Сцв.2. крывая на пав-ні з’яўл. геад. лініяй, т. і т.т., калі ў кожным яе пункце, у якім k≠0, галоўная нармаль гэтай крывой N супадае з нармалю n гэтай пав-ні. На самай справе, калі k≠0, k_g=0<=> sinθ=0<=>θ=0 ці θ=π.Г.зн. ці .⊠Вынік. Вялікія акружнасці на сферы з’яўл. яе геад. лініямі. На самай справе, вялікія акружнасці на сферы з’яўл. плоскімі крывымі, таму галоўная нармаль N ляжыць на плоскасці адпаведнай акружнасці, і праходзіць праз яе центр, але нармаль N сферы таксама праходзіць праз яе центр О ( ). У кожным ункце акружнасці N≡n.

Дыферынц. раўнанні геадыз. Ліній ва унутраных каардынатах. Няхай - параметр. раунанні геадыз. крывой на параметрычнай пав-ні класа , прычым - натуральны параметр. Патрабуем, каб у кожным пункце крывой орт яе галоўнай нармалі быў калінеарны орту нармалі пав-ні у гэтым пункце. Для гэтага запішам параметрычнае натуральнае раўнанне і раскладзём вектар крывізны у кожным яе пункце па кананічнаму базісу пав-ні . Па-першай ф-ле Франэ: .

Адсюль бачна, што т. і т. т. калі датычныя складаемыя роўныя 0.

(2)

(2) – дыферынцыяльныя раўнанні геадыз. ліній ва ўнутраных каардынатах(нелінейная сістэма другога парадку адносна ф-цый ). У выпадку калі , то сістэма (2) у яўным выглядзе наступная . З тэорыі дыфер. раўнанняў вядома, калі ф-цыі , непарыўны у абсягу Д, то гэтая сістэма мае адзінае рашэнне пры дадзенных пачатковых умовах ,дзе -каардынаты адвольнага пункта абсягу Д, а .З геаметрычнага пункту гледжання:Тэарэма. Праз кожны пункт гладкай пав-ні у кожным напрамку праходзіць роўна адна геадыз. лінія. Вынікі:1. На пл-сці геад. лініямі з’яўл. прамые і толькі яны. 2. На сферы геад. лініямі з’яўл. вялікія акружнасці і толькі яны.

56. Сума вуглоў геадэзічнага трохвугольніка. Геадэзічны трохвугольнік – крывалінейны трохвугольнік на гладкай пав-ні Г,бакамі якога з’яўл. дугі геадэзічных ліній на гэтай пав-ні, і будзем абазначаць .

Дыфектам геад. трохвугольніка наз. лік ,дзе - унутран. вуглы трохвугольнака .Па-іншаму гэты дыфект ёсць перавышэнне сумы вуглоў на 180⁰.Сцв.1дыфект геад. трохвугольніка супадае з яго інтэгральнай крывізной.Па-іншаму

.На самай справе выкарыстаем ф-лу , улічваючы,што тут Д= , маем . Вынік1.На пав-ні эліптычнага тыпу ( ) дыфект геад. трохвугольніка дадатны, а сума яго вуглоў 180⁰. На пав-ні гіпербалічнага тыпу( ) дыфект геадыз. трохвугольніка адмоўны, а сума яго вуглоў менш за 180⁰.На пав-ні парабалічнага тыпу дыфект геад. трохвугольніка роўны 0, а сума яго вуглоў роўна 180⁰.На самай справе, калі, напрыклад ), тады па сцв.1 .

Разгледзім трохвог.На пав-ні не нулявой пастаянай крывізны К.Выкарыстоўвая сцв.1,атрымоўваем: вынік2.Дыфект геад. трохвуг. на пав-ні пастаянай ненулявой поўнай крывізны К прапарцыянальны яго плошчы: . Вынік3.На пав-ні пастаянай поўнай крывізны К сума вуглоў геад. трохвугольніка залежыць ад яго плошчы па ф-ле: Аналіз апошняй ф-лы паказвае:1.Трохвуг. аднолькавай плошчы маюць аднолькавую суму вуглоў,калі .2.Калі з павелічэннем плошчы трохвуг-каў узрастае сума яго вуглоў.3. з павялічэннем плошчы трохвугольніка памяншаецца сума яго вуглоў. Заўвага.Улічваючы відавочную няроўнасць з апошняй ф-лы атрымаем . Адсюль, калі . Апошняе паказвае, што на пав-нях пастаянай адмоўнай крывізны не існуе трохвугол-каў колькі вялікай плошчы, яны абавязкова .Геад. трохвуг-кі на мадэльных пав-нях пастаянай крывізны пл-сці ( ) сферы радыуса , паўсферы