- •2. Элементарная крывая. Агульныя крывыя. Простыя крывыя.
- •5. Гадкая (рэгулярная) элементарная крывая.
- •10. Датычная прамая крывой.
- •11. Нармаль плоскай крывой. Нармальная плос-касць прасторавай крывой. Вугал паміж крывымі.
- •12. Даўжыня дугі крывой. Формулы для вылічэння даўжыні дугі.
- •15. Суправаджальны трохграннік. Кананічны базіс.
- •17. Крывізна і кручэнне.
- •20. Крывізна і кручэнне акружнасці, гарфіка функцыі, шрубавай лініі.
- •21. Крывая нулявой крывізны. Пункты спрамлення (выпроствання).
- •22. Крывая нулявога кручэння. Пункты сплашчэння.
- •23. Натуральныя раўнанні. Асноўная тэарэма тэорыі крывых.
- •27. Элементарная паверхня (э.П.). Агульная павер-хня (а.П.). Простая паверхня (п.П.).
- •29. Гладкая (рэгулярная) элементарная паверхня.
- •35. Датычная плоскасць паверхні.
- •36. Нармаль паверхні. Кананічны базіс.
- •37. Першая квадратычная форма параметрызава-най паверхні. Запіс першай квадратычнай формы ва унутраных каардынатах. Дыскрымінант першай ква-дратычнай формы.
- •38. Вылічэне даўжыні дугі крывой на паверхні.
- •39. Вылічэнне вугла паміж крывымі на паверхні.
- •40. Вылічэнне плошчы абсягу на паверхні.
- •41. Другая квадратычная форма параметрызава-най паверхні.
2. Элементарная крывая. Агульныя крывыя. Простыя крывыя.
Азн.: тапалагічным ці гамеаморфным адлюстраваннем фігу-ры на фігуру нызываецца узаемаанназначнае і ўзаемна-непарыйнае адлюстраванне першай з іх на другую. Абазначаецца ~ .
Азн.: элементарнай крывой (э.к.) у прасторы наз. го-меаморфны вобраз у гэтай прасторы элементарнага прамежка прамой, г.зн. адрэзка, адрэзка без аднаго ці двух канцоў, адкрытага ці замкнутага промня, усей прамой. Абазначаецца .
Заўвага: паколькі элементарныя прамежкі прамой гомеаморфныя адпаведна прамежку лікавай прамой, можна казаць, што э.к. гамеаморфны вобраз прамежка лікавай прамой.
Сярод э.к. есць замкнутая (адкрытая), паўзамкнутая (паўадкрытая) дугі. Бясконцыя ў адзін бок і ў два бакі.
Азн.: агульная крывая (а.к.) – фігура ў прасторы, якую можна пакрыць канечным ці злічоным мноствам элементарных крывых. Абазначаецца .
Пакрыццем мн-ва Х наз. адвольная сукупнасць яго пад-мн-ваў ( ), такая, што ( - індэкснае мн-ва).
Бясконцае мноства называецца злічоным, калі яго элементы можна пранумераваць натуральнымі лікамі.
Сцверджанне1: калі пункт , тады , якая ляжыць ў .
Вынік: вывученне агульных крывых у малым зводзіцца да вывучэння э.к.
Тапалагічна звычайны пункт а.к. – пункт, які мае наваколле ў прасторы, перасячэнне якога з гэтай крывой э.к. пункт а.к. называецца тапалагічна асаблівым, калі ен не з’яўляецца тапалагічна звычайным.
Простая крывая (п.к.) – а.к., якая задавальняе двум умовам:
1. З’яўляецца звязнай (гэта значыць складаецца з аднаго куска).
2. Не мае тапалагічна асаблівых пунктаў.
Заўвага: 1. Часта крывыя называюць лініямі.
2. Крывая, якая цалкам ляжыць у плоскасці называецца плоской.
5. Гадкая (рэгулярная) элементарная крывая.
Элементарная крывая Υ называецца э.к. класа Ск (к=0,1,2,…), калі яна дапускае параметрызацыю класа Ск. Крывыя класа С0 называюцца непарыўнымі, класа Ск (к>=1) называюцца к-разоў непарыўна дыфферэнцаваныя.
Параметрызацыя , называецца гладкай (рэгулярнай) класа Ск (к=0,1,2,…), калі выконваюцца умовы:
1. .
2. , .
Э.к. называецца гладкай (рэгулярнай) класа Ск (к=0,1,2,…), калі яня валодае гладкой (рэгулярнай) параметрызацыяй класа Ск.
Заўвага: рэгулярная крывая можа мець і нягладкую параметрызацыю.
10. Датычная прамая крывой.
Азн.: датычнай прамой крывой у яе пункце Р наз. лімітавае становішча яе сякучай, што праходзіць праз Р і нейкі іншы пункт Q крывой , пры умове, што Q неабмежавана набліжаецца да Р, рухаючыся па кр. .
Тэарэма:
1. (Існаванне) Усякая рэгулярная кр. у кожным сваім п. Р мае датычную прамую Т і прычым адзіную.
2. (адзінасць) Калі , - адвольная дапушчальная параметрызацыя гладкай кр. , тады век-тарнае параметрычнае раўнанне яе датычнай пра-мой Т у яе п. Р можна запісаць у выглядзе: , .
Доказ: 1. Калі 0 – пачатак сістэмы каардынат, тады Вектар кіроўны вектар сечнай прамой PQ. Вектар - кіроўны вектар сечнай PQ. Калі на , і паколькі - галдкая параметрызацыя крывой існуе і адрозніваецца ад . . Відавочна прамая Т, якая будзе праходзіць праз Р у напрамку гэтага вектара і будзе лімітавым становішчам пераменнай сякучай PQ. 2. Няхай - іншая далучаная пара-метрызацыя крывой эквшвалентна яе параметрызацыі . Г.зн. . Дыфферэнцыруя па будзем мець . Паколькі якабіан зменнай параметра адрозніваецца ад , атрымалі, што і у адным і тым жа пункце Р каленіарныя. Такім чаным, у гэтым пункце яны вызначаюць адну і тую ж прамую Т, для якой з’яўляюцца кіроўнымі вектарамі.
3. (канструк-тыўнасць) Вывад раўнання: Нахай - радыўс-вектар бя-гучага пункта М датычнай прамой Т. , .
Вынік: Калі - адвольная дапушчальная параметрызацыя гладкай крывой , тады вектар есць кіроўны вектар датычнай прамой крывой у яе пункце с вектарам хуткасці параметра у адвольным пункце.