23. Натуральныя раўнанні. Асноўная тэарэма тэорыі крывых.

Азн.: залежнасці ад натуральнага па-раметра s пункта крывой называецца натуральным раўнаннем гэтай прамой.

Прыклады натуральных раўнанняў:

1. 

2. – акружнасць радыцса R.

3. 

Тэарэма: (асноўная тэарэма тэорыі крывых) няхай зададзены две адвольныя непарыўныя функцыі , прычым . Тады існуе адзін, з дакладнасцю да палажэння у прасторы крывая , для якой пры адпаведным выбары яе натуральнай параметрызацыі натуральныя раўнанні будуць мець выгляд , г.зн. - функцыя крывізны, - функцыя кручэння.

Прыклады ўжывання гэтай тэарэмы:

1. Усякая плоская крывая, пастаяннай не нулявой крывізны, з’яўляуцца акружнасцю, ці яе часткай. Натуральные раўнанні гэтай крывой будуць мець выгляд (паколькі крывая плоская). Гэта натуральныя раўнанні акружнасці (ці яе часткі) паколькі для акружнасці маем . Паколькі натуральнае раўнанне адпа-веднае тэарэме, вызначае крывую адназначна з даклад-насцю да руху ў прасторы і адвольная іншая плоская крывая з крывізной таксама будзе акружнасцю з ці яе часткай.

2. Усякая прасторавая крывая з пастаяннымі ненулявымі крывізной і кручэннем, з’яўляюцца шрубавай лініяй, ці яе часткай. Натуральные раўнанні такой крывой будуць мець выгляд . З другога боку гэта будуць натуральныя раўнанні шрубавай лініі , дзе .

Праверым гэта: , . Паколькі крывая вызначаецца адназначна (з дакладнасцю да руху), то крывая, ў якой будзе шрубавай лініяй ці яе часткай.

27. Элементарная паверхня (э.П.). Агульная павер-хня (а.П.). Простая паверхня (п.П.).

Э.п. у прасторы гэта гамеаморфны вобраз у гэтай прасторы элементарнага двумернага прамежка (г.зн. адкрытага ці замкнутага круга, замкнутай паўакружнасці ці ўсей плоскасці) ці адвольнага падмноства плоскасці, гамеаморфнага прамежку. Абазнач.

Прыклады э.п.:

Прыклады не э.п.

А.п. у прасторы гэта фігура, якую можна пакрыць канечным ці злічоным мноствам э.п. Абазнач.

Вынік: вывучэнне а.п. у малым зводзіцца да вывучэння э.п.

Тапалагічна звычайным пунктам а.п. называецца такі яе пункт, які мае наваколле у прасторы (г.зн. адкрыты шар з цэнтрам у гэтым пункце), перасячэнне якога з паверхняй з’яўляецца э.п. Пры гэтым магчымы два выпадкі:

1) калі ўказаннае перасячэнне гамеаморфна, тады звычайны пункт наз. унутранным;

2) калі гэтае перасячэнне гамеаморфна замкнутай плоскасці, то пункт называецца краявым.

Прыклады:

1. Кожны пункт гранічнай акружнасці замкнутай паўсферы краявы, астатнія – унутранныя.

Пункт а.п., які не з’яўляецца тапалагічна звычайным, называецца тапалагічна асаблівым.

А.п. наз. простай, калі яна , па-першае, з’яуляецца звязнай і, па-другое, не мае тапалагічна асаблівых пунктаў, усе яе пункты тапалагічна звычайныя.

Прыклады:

1. Усе э.п.

2. Сфера.

3.Шар.

4. Паверхня піраміды.

5. Паверхня прызмы.

Прыклады не простых паверхняў:

1. Ластаўкін хвост (звязная, але мае тапалагічна асаблівы пункт).

2. Двухпаласцевы гіпербалоід (не мае тапалагічна асаблівых пунктаў, ала і не звязная).