29. Гладкая (рэгулярная) элементарная паверхня.

Э.п. называецца паверхняй класа калі яна дапускае параметрызацыю класа . Пры паверхню называюць k разоў непарыўна дыферанца-вальнай. Паверхні належачыя класу , але не належа-чыя класу не разглядываюцца ў дыферынцыальнай геаметрыі, паверхні класа наз. Непарыўнымі.

Заўвага: паверхні непарыўна дыферынцыяльныя, так-сама могуць мець дрэнныя пункты і г.д.

Прыклад. Цыліндр мае прамую дрэнных пунктаў у плоскасці Оху.

Э.п. называецца гладкай (рэгулярнай) класа , , калі яна дапускае параметрызацыю такую, што, па-першае, і па-другое, (1).

Заўвага: умова (1) вызначае, што ,

Заўвага: рэгулярная паверхня можа дапускаць і нерэ-улярную параметрызацыю.

35. Датычная плоскасць паверхні.

Азн. Датычнай плоскасцю (да) паверхні яе п.Р наз. плоскасць , якая праходзіць праз п.Р і змяшчае датычныя прамыя да ўсіх крывых на паверхні , што праходзіць праз гэты пункт.

Тэарэма: усякая рэгулярная (гладкая) э.п. у кожным сваім п.Р мае датычную плоскасць Т і пры тым толькі адну, калі дапшчальная параметрыза-цыя паверхні тады нармальным вектарам датычнай плоскасці у п. з’яўляецца вектар .

Доказ.

(1) Існаванне. Няхай адвольная гладкая крывая, якая праходзіць праз п. на параметрызаванай паверхні і ляжыць на і няхай яе дапушчаль-ныя параметрычныя раўнанні. . Знойдзем кіроўны вектар датычнай прамой да у п.Р: . Т.ч. кіроўны вектар усіх датычных пра-мых да крывых на па-верхні у п.Р раскладваюцца па азісу - гладкая параметрызацыя), г.зн. што усе указанныя датычныя прамыя ляжаць у адной плос-касці, якая змяшчае вектары і адкладзенныя ад п.Р.

(2) Адзінасць. Няхай , эквівалентная параметрызацыя паверхні , тады і дыферыцчуючы па і маем : , . Тады: =

Паколькі Якабіян не роўны 0 у кожным пункце мноства V, таму калі , то , г.зн. што вектары і утвараюць базіс той жа самай плоскасці , што і трэба было даказаць.

(3) Канструктыўная частка. Паколькі вектары і утвараюць базіс датычнай плоскасці у п. азначэнню вектарнага здабытку, вектар будзе нармальным вектарам плоскасці . Што і трэба было даказаць.

Заўвага: вектары і вылічаныя у п. параметрычнай паверхні з’яўляюцца кіроўнымі вектарамі каардынатных ліній, , якія праходзяць праз п.Р.

Пры вылічэнні дапускаем: . Атрымліваем: і таму ***** - гэта і есць кіроўны вектар датычнай прамой . Аналагічна для .

36. Нармаль паверхні. Кананічны базіс.

Нармалю паверхні Г у п.Р называецца прамая n, якая праходзіць праз п.Р і перпендыкулярна датычнай плоскасці Г к поверхні Г у гэтым пункце.

Сцверджанне: кожная гладкая паверхня ў кожным сваім пункце мае нармаль n і пры тым толькі адну.

Калі адвольная дапушчальная параметрыза-цыя паверхні Г, тады вектар з’яўляецца кіроўным вектарам нармалі n паверхні у п. .

Кананічным базісам гладкай параметрызаванай паверхні у яе п. называецца правая тройка вектароў , дзе - орт нармалі.

Заўвага: калі паверхня зададзена яўна ці неяўна ў дэкартавых каардынатах не абавязкова пераходзіць да яе параметрычных раўнанняў.

Сцверджанне: калі гладкая паверхня Г задавальняе раўнанню без асабліввых пунктаў (г.зн. *), тады вектар есць нармальны вектар датычнай плоскасці Г, ці што тое самае, кіроўны вектар нармалі n паверхні Г у яе п. .

Доказ. Няхай - адвольная гладкая крывая на паверхні Г, якая праходзіць праз п. і - першыя дапушчальные параметрычныя раўнанні ва унутранных каардынатах. Калі гладкія параметрычныя раўнанні Г, тады адпаведныя параметрычныя раўнанні крывой у дэкартавых каардынатах будуць мець выгляд: . Уздоўж крывой будзем мець:

Дыферынцуючы па t будзем мець:

уздоўж , ці, што тое самае

Г.зн. у п. - кіроўны вектар датычнай прамой да крывой у п.Р. Т.ч. для што і трэба было даказаць.