- •2. Элементарная крывая. Агульныя крывыя. Простыя крывыя.
- •5. Гадкая (рэгулярная) элементарная крывая.
- •10. Датычная прамая крывой.
- •11. Нармаль плоскай крывой. Нармальная плос-касць прасторавай крывой. Вугал паміж крывымі.
- •12. Даўжыня дугі крывой. Формулы для вылічэння даўжыні дугі.
- •15. Суправаджальны трохграннік. Кананічны базіс.
- •17. Крывізна і кручэнне.
- •20. Крывізна і кручэнне акружнасці, гарфіка функцыі, шрубавай лініі.
- •21. Крывая нулявой крывізны. Пункты спрамлення (выпроствання).
- •22. Крывая нулявога кручэння. Пункты сплашчэння.
- •23. Натуральныя раўнанні. Асноўная тэарэма тэорыі крывых.
- •27. Элементарная паверхня (э.П.). Агульная павер-хня (а.П.). Простая паверхня (п.П.).
- •29. Гладкая (рэгулярная) элементарная паверхня.
- •35. Датычная плоскасць паверхні.
- •36. Нармаль паверхні. Кананічны базіс.
- •37. Першая квадратычная форма параметрызава-най паверхні. Запіс першай квадратычнай формы ва унутраных каардынатах. Дыскрымінант першай ква-дратычнай формы.
- •38. Вылічэне даўжыні дугі крывой на паверхні.
- •39. Вылічэнне вугла паміж крывымі на паверхні.
- •40. Вылічэнне плошчы абсягу на паверхні.
- •41. Другая квадратычная форма параметрызава-най паверхні.
37. Першая квадратычная форма параметрызава-най паверхні. Запіс першай квадратычнай формы ва унутраных каардынатах. Дыскрымінант першай ква-дратычнай формы.
Няхай галоўная парам. паверхня. – нейкі яе фіксаваны пункт, - нейкі блізкі да п. Р пункт паверхні .
- прырашчэнне вектар-функцыі у п. Р, якое адпавядае прырашчэню яе аргументаў.
З аналізу вядома, што мае месца …, дзе – лінейная адносна частка ліненага прырашчэн-ня адпаведна … у п. (дыферэнцыал), а промнямі абазн нелінейная частка адносна , .
Паколькі утвараюць базіс датычнай плоскасці Т паверхні у п. Р, таму вектар ляжыць у гэтай плоскасці Т. Будзем гаварыць, што пара задае напрамак у п. Р па паверхні маючы на ўвазе напрамак вектара у гэтым пункце.
Першай квадратнай формай параметрызаванай плос-касці у яе п. наз. велічыня . Яе наз. таксама Рыманавай матрыцай ці асноўнай, ці фунда-ментальнай квадратнай формай. Велічыня наз. лінейным элементам у п. у напрамку , відавочна, лінейны элемент прыблізна роўны ці, тое ж самае, адлегласці паміж пунктамі і і набліжаным больш дакладна, чым Р бліжэй да Q.
Улічваючы напрамак , , маем:
Форма есць сіметрычная дадатна вызначаная ква-дратная форма адносна . Дадатна вызначаная таму, што, калі .
Запіс у класічных каардынатах:
Заўвага: У фіксаваным п. форма - г. зн. функцыя двух пераменных і .
Калі – адвольны пункт паверхні, тады , г.зн. у п. Р форма есць функцыя чатырох пераменных.
Дыскрымінант формы - гэта велічыня .
Прадставім яе ў другім выглядзе
Лема:
Вынік: У кожным пункце гладкай параметрых паверхні
38. Вылічэне даўжыні дугі крывой на паверхні.
Няхай - гладкая элем. параметрыз. паверхня, - гладкая элементарная крывая на ей і , яе гладкія дапушчальныя параметрызаваныя раўнанні ва ўнутраных каардынатах
Калі пункты пункты на крывой , тады даўжыня дугі : далей маем:
39. Вылічэнне вугла паміж крывымі на паверхні.
Няхай - гладкія крывыя на гладкай элементарнай паверхні , якія перасякаюцца ў яе пункце Р, вугал паміж імі можна знайсці з дапамогай формулы: , дзе і абазнач. адпаведна дыфферэнцыялы вектар-функцыі у напрамках крывых адпаведна ў п. Р.
На самой справе, калі напрамак крывой у п. Р, г. зн. напрамак вектара , тады вектар будзе кіроўным вектарам датычнай прамой да п. Р , .
Аналагічна - гэта кіроўны вектар датычнай прамой крывой у п. Р . перапішам формулу (1) па іншаму: , дзе – каэфіцыенты формулы (1) вылічаныя у п. перасячэння крывых і , - дыфферэнцыялы ўнутраных каардынат у п. у напрамку крывой , - дыфферэнцыялы унутраных каардынат у п. у напрамку крывой .
Вынік: Калі – каардынатная лінія, а - каардынатная лінія , тады ўздоўж , а , а ўздоўж крывой . Выкарыстоўваем вугал паміж каардынатнымі лініямі па формуле (2) будзем мець: . Вугал паміж каардынатнымі лініямі влічваецца па формуле
Сцверджанне: Вугал паміж каардынатнымі лініямі ў пункце паверхні (у кожным пункце паверхні) прамы т. і т. т., калі ў гэтым пункце .
Сетка каардынатных ліній, вугал паміж адвольнымі двума з якіх у кожным пункце наз. артаганальным.