16)Аппроксимация процессов в рэс степенным полиномом

U=a₀+a₁t+a₂t²+…+a_ntⁿ+…

Число составляющих полинома(n) желательно взять равным 3-5

Для принятия первоначального решения о количестве составляющих одна из трех рекомендаций:

1)Вы

2)Литература

3)Руководитель

Пусть n=3

точность значений t₁,t₂,t₃,U₁,U₂,U₃ берется на порядок выше погрешности, то есть 0,1*ε

U₁=a₀+a₁t₁+a₂t₁²

U₂=a₀+a₁t₂+a₂t₂²

U₃=a₀+a₁t₃+a₂t₃²

a₀=Δ₁/Δ

a₁=Δ₂/Δ

a₂=Δ₃/Δ

Для проверки полученной модели на адекватность необходимо на данном графике восстановить математическую модель по точкам.

В точках где расхождение наибольшее необходимо посчитать погрешность

ε=(U-U^*)/ U^* ≤ ε_{заданное}

1) если ε ≤ ε_{заданное} ,то математическая модель верна(адекватна исходному процессу)

2) если ε > ε_{заданное} ,то математическая модель не верна

Достоинства:

• высокая точность при большом числе членов полинома

Недостатки:

• Длительное время вычисления

• Наличие субъективных ошибок

18) Аппроксимация рядом Фурье (по гармоникам)

Запишем ряд Фурье по гармоникам:

Допустим k=3 в первом приближении. Отсюда следует:

В этом уравнении неизвестными величинами являются: U_m1, U_m2, U_m3, φ₁, φ₂, φ₃ .

Выберем произвольно 6 мгновенных значений u(t) и состави систему из 6 уравнений с 6 неизвестными величинами:

Известными величинами в данной системе являются: u(t₁), u(t₂), … , u(t₆), t₁, t₂, … , t₆ .

Решим систему следующим образом:

, где

Выберем t₁ кратное периоду: .

После подстановки получим проблему, что является функцией, зависящей от φ₁, φ₂, φ₃ .

Применим метод последовательных приближений, который заключается в следующем: меняем φ₁ от 0° до 360°, в это время φ₂ и φ₃ оставляем постоянными. Интервал дискретности φ₁≈ 6°.

То есть основным недостатком данной модели является наличие неизвестных в определителе, что приводит к увеличению времени определения неизвестных величин.

После выполнения первого приближения проводится проверка на адекватность полученной модели исходному процессу.

1. Если ε≤ε_зад , то данная модель является математической моделью исходного процесса.

2. Если ε>ε_зад , то данная модель не является математической моделью и необходимо добавить количество гармоник.

3. Если ε>>ε_зад , то необходимо использовать другую математическую модель.

Другие варианты математических моделей: ряды Котельникова, Хилла, Хевисайда и т.д.

18) Аппроксимация процессов в рэс рядом Фурье (по составляющим гармоник)

Исчезает зависимость от φ

Ряд Фурье по составляющим: U(t)=U_cm1sinωt+U_mk1cosωt+ U_cm2sin2ωt+U_mk2cos2ωt+…

K=2. неизвестные U_cm1U_mk1U_cm2 U_mk2

U_cm1=Δ₁/Δ; U_mk1=Δ₂/Δ; U_cm2=Δ₃/Δ; U_mk2=Δ₄/Δ.

Система:

Sinωt1=sin(2π/T)t1= sin(2π/n); Δt=t1=T/n;

Интервал дискретизации Δt в соответствии с теоремой Котельникова должен равняться ¼ периода наивысшей гармоники Δt=Т2/4=Т/4k; будет наименьшая погрешность изменения параметра гармоники при Δt=T/8. Рассмотрим первый коэффициент: sin(2π/T)*(T/8)=sin2π/8=0,707. Т.о. Δ представляет собой матрицу коэффициентов действительных положительных и отрицательных чисел, которые находятся в пределах -1<…< 1. Далее рассчитываются Δ1,Δ2,Δ3,Δ4 и определяются Umc1, Umk1, …. Далее полученные значения подставляются в мат модель, проверяем на адекватность и принимаем решение.

Достоинства: независимость результатов решения от частоты следования несущей, в определении отсутствует неизвестная величина φ.

Используя обратное матричное преобразование задачу можно решить более легким способом:

получим Δ^-1

между α и β существуют простые соотношения , например, β11=(α12α13-α23α13)/α12.

Получим систему: U_mc1=β11U(t1)+β12U(t2)+β13U(t3)+β14U(t4)

…………………………………………………

U_mk2=β41U(t1)+ β42U(t2)+β43U(t3)+β44U(t4)

Полученные соотношения позволяют по известным коэффициентам обратной матрицы получить значения симфазных и квадратурных составляющих путем умножения коэффициентов на соответствующие мгновенные значения.