8.2. Построение модели динамического программирования для задачи о замене

Рассмотрим две модели ДП задачи о замене оборудования. В одной из них в качестве показателя эффективности выберем прибыль, которую следует максимизировать, в другой — суммарные затраты на эксплуатацию, которые следует минимизировать.

Задача 1. Определить оптимальные сроки замены оборудования в течение п лет, при которых прибыль от эксплуатации оборудования максимальна, если известны: р  начальная стоимость оборудования; f(t)  стоимость производимой продукции на оборудовании возраста t лет; r(t)  ежегодные затраты на эксплуатацию оборудования возраста t лет; (t)  ликвидная стоимость оборудования возраста t лет.

Рассмотрим n-шаговый процесс, считая k-м шагом номер k-гo года от начала эксплуатации (k = 1, 2, ... , n). Выше указывалось, что управление на k-м шаге выбирается из двух возможных решений: и^с  сохранить и продолжать использование старого оборудования или и³  заменить оборудование новым.

Будем считать, что в начале планового периода возраст оборудования равен t₀. Состояние _k-1 системы (оборудования) в начале k-го шага характеризуется одним параметром

_k-1 = t  возрастом оборудования. Для k-го шага параметр состояния t может принимать значения 0, 1, 2, ..., k1, т. е. tk1.

Если к началу k-го шага система находилась в состоянии _k-1 = t, то под влиянием управления и^с в конце k-го шага она перейдет в состояние _k = t+1; возраст оборудования увеличится на один год. Под влиянием управления и^з принятого на k-м шаге, система перейдет в состояние _k = 1 (замену произвели в начале k-го года; в конце k-го года возраст нового оборудования равен одному году).

Уравнение состояния (1.2) для данного процесса имеет вид

(8.1)

На рис. 8 состояние системы изображается точкой плоскости в системе координат к, t; сплошными стрелками указаны переходы из данного состояния в состояние, соответствующее управлению и^с, а пунктирными — управлению и³.

Рис. 8

Определим прибыль на k-м шаге (показатель эффективности k-го шага), соответствующую каждому из альтернативных управлений и^с и и³. Выбирая на k-м шаге управление и^c, мы сможем произвести продукции стоимостью f(t) на старом оборудовании, что потребует затрат r(t), поэтому прибыль равна f(t)  r(t). Обозначим ее через

Z^c_k = f(t)  r(t). (8.2)

При управлении и³ получим доход (t) от продажи старого оборудования (ликвидную стоимость) и f(0) от произведенной на новом оборудовании продукции, затратив р на приобретение нового оборудования и r(0) на содержание нового оборудования. В этом случае прибыль (обозначим ее через Z³_k) составляет

Z³_k = (t) + f(0)  p  r(0). (8.3)

Построим обратную вычислительную схему решения данной задачи методом ДП.

Обозначим через Z^*_k(t) условную максимальную прибыль, полученную за nk+l шагов использования оборудования с k-го по n-й шаг включительно, если к k-му шагу возраст оборудования составлял _k-1 = t лет, при условии, что был выбран оптимальный режим эксплуатации. Соответствующее условное оптимальное управление на k-м шаге обозначим через u_k*(t). Условный максимальный доход за последний n-й промежуток составляет

(8.4)

Сравнив эти две величины для всех возможных значений t<n, получим значения Z_n*(t) и соответствующие значения u^*_n(t). Предположим, что для всех значений _k = t известна максимальная прибыль, полученная за nk шагов с (k+1)-го по n-й включительно. Поэтому основные рекуррентные соотношения можно записать в виде

(8.5)

В уравнении (8.5) величина Z*_k+1(1) —условная максимальная прибыль, полученная за nk шагов, если к началу (k+1)-го шага система находилась в состоянии _k = 1 (возраст оборудования составлял один год).

Процесс условной оптимизации на каждом шаге, начиная с n-го, сводится к сравнению двух величин в уравнениях (8.4) и (8.5) и выбору наибольшей из них. Этап условной оптимизации заканчивается, как обычно, получением последовательностей функций Z^*_k(t) и u^*_k(t).

На этапе безусловной оптимизации для ^*₀ = t₀ (возраст оборудования в начале процесса) получаем Z_max= Z^*₁(t₀), а далее по цепочке: u₁^* = u₁^*(t₀), из (8.1) находим ₁^* = t₁, откуда u₂* = u₂*(t₁), и т. д. Оптимальное управление U* = (u₁*, u₂*, …, u_n*) представляет собой набор управлений и^с и и³.

Замечание. В задаче 1 не рассматривался вопрос о том, что происходит с оборудованием после п лет его эксплуатации. Можно предположить, что п неограниченно велико и, рассматривая процесс для достаточно большого значения п, получить закономерность в оптимальном управлении в виде периодически повторяющихся циклов замены и использования старого оборудования (такой пример будет рассмотрен ниже). Можно также предположить, что после п лет использования оборудование продается и ликвидная стоимость присоединяется к общей прибыли. Во втором случае уравнения (8.4) принимают вид

(8.6)

Рассмотрим некоторую модификацию задачи 1.

Задача 2. В задаче 1 предположим, что ежегодные затраты на эксплуатацию, ликвидная и начальная стоимость зависят не только от возраста оборудования t, но и от времени, прошедшего с начала процесса. Пусть r_k(t) — затраты на эксплуатацию в течение k-го года, если со времени последней замены прошло t лет;

_k(t) — ликвидная стоимость оборудования возраста t лет, если оно продается в начале k-го года;

p_k  начальная стоимость оборудования, если оно куплено в начале k-го года.

Требуется определить оптимальные сроки замены старого оборудования новым в течение п лет с тем, чтобы минимизировать затраты на его содержание.

Показатель эффективности в данной задаче — суммарные затраты на эксплуатацию оборудования. Затраты на k-м. шаге, как и прежде, зависят от выбранного управления. При управлении u_k = u^c эти затраты равны Z^c_k = r_k(t), а при управлении u_k = u³ составляют Z^з_k = _k(t) + p_k + r_k(0).

Пусть Z^*_k(t)  условные минимальные затраты за nk+l шагов с k-го по n-й включительно, если к началу k-го шага возраст оборудования составлял t лет, при условии, что был выбран оптимальный режим эксплуатации.

Рекуррентные соотношения для Z^*_k(t) имеют вид

(8.7)

Для n-го шага соответственно получим

(8.8)

Вычислительный процесс строится так же, как и в предыдущей задаче.

Введение в условие задачи функций, оценивающих затраты, выпуск продукции и стоимость, зависящие не только от возраста t, но и непосредственно от k, т. е. от времени, прошедшего с начала процесса, является косвенным способом учета технического прогресса.

Как уже отмечалось неоднократно, модели ДП очень гибки и в смысле возможностей анализа чувствительности к вариации исходных данных, и в смысле возможностей включения в модель различных модификаций задачи. Так, например, аналогичная модель может быть построена для задач, в которых ежегодно рассматривается более двух вариантов управления («сохранение», «замена», «реконструкция» и т. д.). Можно рассматривать задачи, в которых затраты или прибыль зависят не только от возраста оборудования, но и еще от одного параметра, например, времени, прошедшего после восстановительного ремонта, и т. д.

Некоторые типы таких задач содержатся в упражнениях к этой главе. Рассмотренные в настоящем параграфе и предложенные в качестве упражнений задачи с двумя альтернативными управлениями — «замена» или «сохранение» — и одним параметром состояния — «возрастом» оборудования — относятся к одному из немногих случаев, когда при любой длительности планового периода можно получить решение, не применяя ЭВМ. Конечно, если подобные задачи приходится решать часто, то использовать ЭВМ, безусловно, необходимо.

Замечание. Если функции затрат, ликвидная и начальная стоимости в задаче 2 зависят от времени , прошедшего с начала эксплуатационного периода, и  не совпадает с k, то состояние системы следует характеризовать двумя параметрами  и t.