16. Основные понятия проблемы

. Одно из фундаментальных понятий матричной алгебры  понятие линейного оператора.

Рассмотрим два линейных пространства: Rn размерности n и Rm размерности m.

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору х пространства Rⁿ ставится в соответствие единственный вектор у пространства R^m, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) (х), действующий из Rⁿ в R^m, и записывают

у = (х).

Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов х и у пространства R" и любого числа X выполняются соотношения:

1. (х + у) = (х) + (у) — свойство аддитивности оператора;

2. (х) =  (х) — свойство однородности оператора.

Вектор у = (х) называется образом вектора х, а сам вектор x — прообразом вектора у.

Если пространства Rⁿ и R^m совпадают, то оператор отображает пространство R" в себя. Именно такие операторы мы будем рассматривать в дальнейшем.

Выберем в пространстве Rⁿ базис е₁, е₂,..., е_n и запишем разложение произвольного вектора х по данному базису:

х = х1е₁+х2е₂...+хnе_n.

В силу линейности оператора получаем

(х) = х1 (е₁) + х2 (е₂)+...+хn (е_n).

Поскольку (e_i) (i = 1,2,...,n) — также вектор из Rⁿ , то его можно разложить по базису е₁, е₂,..., е_n. Пусть

(е_i) = а_1iе₁ + a_2ie₂ +...+a_nie_n, (i = 1, 2, ..., n ). (1)

Тогда

(х) = х1(а₁₁е₁ + a₂₁e₂ +...+a_n1e_n) + x2(а₁₂е₁ + a₂₂e₂ +...+a_n2e_n) + …

+ xn(а_1nе₁ + a_2ne₂ +...+a_nne_n) =

(а₁₁x₁ + a₁₂x₂ +...+a_1nx_n)e₁ + (а₂₁x₁ + a₂₂x₂ +...+a_2nx_n)e₁ + …

+ (а_n1x₁ + a_n2x₂ +...+a_nnx_n)e_n. (2)

С другой стороны, вектор у = (х), имеющий в том же базисе е₁, е₂,..., е_n координаты y₁, y₂,..., y_n, можно записать так:

(x) = у₁е₁+у₂е₂+...+у_nе_n. (3)

Ввиду единственности разложения вектора по базису равны правые части равенства (2) и (3), откуда

y₁ = а₁₁х₁+а₁₂х₂+ ... +а_1nх_n,

y₂ = a_2lx₁+a₂₂x₂+ ... +а_2nх_n,

………………………………

y_n = а_n1х₁+а_n2х₂+ ... +а_nnх_n.

Матрица А = (a_ij) (i,j = 1, 2, ..., n) называется матрицей оператора А в базисе е₁, е₂,..., е_n, а ранг r матрицы А  рангом оператора .

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

Связь между вектором х и его образом у = (х) можно выразить в матричной форме уравнением

Y = АХ, (4)

где А  матрица линейного оператора, X = (х1, х2, ..., хn)^T,

Y = (y1, y2, ..., yn)^T — матрицы-столбцы из координат векторов х и у.

Пример 2. Пусть в пространстве R³ линейный оператор в базисе е₁, е₂, е₃ задан матрицей А = .

Найти образ у = (х) вектора х = 4е₁  Зе₂ + е₃.

Решение. По формуле (4) имеем

Следовательно, у = 10е₁ - 13е₂ - 18е₃.

Действия над линейными операторами.

Суммой двух линейных операторов и называется оператор ( + В), определяемый равенством: ( + )(х) = (х) + (х).

Произведением линейного оператора на число  называется оператор  , определяемый равенством ( )(х) = ( (х)).

Произведением линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством: ( )(х) = ( (х)).

Можно убедиться в том, что операторы ( + ),  , , полученные в результате этих действий, удовлетворяют отмеченным выше свойствам аддитивности и однородности, т.е. являются линейными.

Определим нулевой оператор , переводящий все векторы пространства Rⁿ в нулевые векторы 0(х) =0, и тождественный оператор Е, действующий по правилу: (х) = х.

Зависимость между матрицами одного и того же оператора в разных базисах выражается теоремой.

Теорема. Матрицы А и А* линейного оператора в базисах e₁, e₂, ..., e_n и

e₁^*, e₂^*, ..., e_n^* связаны соотношением

A^* = C^-1AC, (3.22)

где С — невырожденная матрица перехода от старого базиса к новому.

Доказательство.

При воздействии линейного оператора А вектор х пространства Rⁿ переводится в вектор у этого пространства, т.е. справедливы равенство (3.21) (в старом базисе) и равенство

Y^* = А^*Х^* (3.23)

(в новом базисе). Так как С — матрица перехода от старого базиса к новому, то в соответствии с (3.12)

Х = СХ*, (3.24)

Y = CY*. (3.25)

Умножим равенство (3.24) слева на матрицу А, получим АХ = АСХ* или с учетом (3.21) Y = АСХ*. Заменив левую часть полученного выражения в соответствии с (3.25), имеем: СY^* = АСХ* или Y^* = С^-1АСХ^*. Сравнивая найденное выражение с (3.23), мы получим доказываемую формулу (3.22).

Пример 3.6. В базисе e_l,e₂ оператор (преобразование) имеет матрицу А = .

Найти матрицу оператора в базисе

e_l^* = e_l, - 2e₂

e₂^* = 2e_l,+e₂.

Решение.

Матрица перехода здесь С = .

Обратная к ней С^-1 = .

Следовательно,

A^* = C^-1AC = = .

Определение. Квадратные матрицы одного порядка А и А* называются подобными, если для них найдется такая невырожденная матрица С такого же порядка, что верно равенство

A^* = C^-1AC

Следовательно, матрицы линейного оператора в разных базисах при С ≠ 0 являются подобными.