- •Введение в теорию принятия решений
- •Классы и методы решения задач теории принятия решений
- •Основные понятия и этапы моделирования
- •Функции многих переменных. Понятие о квадратичной форме. Свойства квадратичных форм
- •Приведение квадратичной формы к диагональному виду с помощью выделения полного квадрата
- •Положительная (отрицательная) определенность квадратичных форм. Критерий сильвестра
- •8. Необходимое и достаточное условие положительной(отрицательной) определенности
- •3.2. Частные производные 2-го и высших порядков.
- •10. Необходимые и достаточные условия минимума (максимума) функции многих переменных. Классический метод
- •3.5. Достаточные условия существования экстремума.
- •11.Теоремы о квадратичных формах. Закон инерции квадратичных форм
- •12. Методы минимизации функций одной переменной
- •4.1. Постановка задачи.
- •4.2. Метод золотого сечения.
- •13. Удвоение
- •14. Метод наискорейшего спуска. Вычисление длины шага и методы наискорейшего спуска
- •1 Методы безусловной минимизации. Градиентные методы (метод наискорейшего спуска).
- •15. Методы условной минимизации. Метод проекции градиента.
- •16. Основные понятия проблемы
- •17. Система линейных однородных уравнений для вычисления собственных векторов
- •6.2. Основные определения.
- •Характеристическое уравнение
- •Теоремы гергошина
- •Приведение матрицы к диагональному виду с помощью матрицу с собственными векторами
- •7.2. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана.
- •7.3. Уравнения р. Беллмана.
- •Глава 8. Задача о замене оборудования
- •8.1. Постановка задачи.
- •8.2. Построение модели динамического программирования для задачи о замене
- •8.3. Числовой пример
- •9.1. Метод последовательных уступок.
- •9.2. Метод идеальной точки.
17. Система линейных однородных уравнений для вычисления собственных векторов
6.2. Основные определения.
Центральную роль при изучении квадратных (nxn) – матриц А играют те специальные вектора из Rn, направления которых не меняются (за исключением возможно знака), при умножении на А. Всякий такой ненулевой вектор u должен удовлетворять равенствам
(1)
для некоторого скаляра , называемого собственным значением матрицы А. Каждый ненулевой вектор, кратный вектору называется собственным вектором, и и u соответствуют друг другу. По соглашению нулевой вектор не может быть собственным вектором.
Собственные числа должны удовлетворять системе однородных линейных алгебраических уравнений
Согласно теории линейных алгебраических уравнений, однородная система уравнений имеет ненулевое (нетривиальное) решение тогда, и только тогда, когда определитель матрицы этой системы равен нулю, т.е.
(2)
Поэтому А может иметь не более n собственных значений. Множество этих значений на комплексной плоскости составляет спектр матрицы А.
Характеристическое уравнение
Согласно теории линейных алгебраических уравнений, однородная система уравнений имеет ненулевое (нетривиальное) решение тогда, и только тогда, когда определитель матрицы этой системы равен нулю, т.е.
(2)
Поэтому А может иметь не более n собственных значений. Множество этих значений на комплексной плоскости составляет спектр матрицы А
Уравнение (2) называется характеристическим уравнением матрицы А, а его корни – характеристическими числами или собственными значениями матрицы А. Многочлен n-ой степени, стоящий в левой части уравнения (2) называется характеристическим многочленом матрицы А.
Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А =
Решение. Составляем характеристическое уравнение
A E = = 0
или
2 7 + 6 = 0 ,
откуда собственные значения линейного оператора , заданного матрицей А будут таковы 1 = 1, 2 = 6.
Находим собственный вектор x(1) =(xl, x2), соответствующий собственному значению 1 = 1. Подставим это первое собственное число в систему уравнений (1). Получим систему однородных уравнений
2x1+2x2 = 0;
3x1+3x2 = 0,
откуда находим х2 = -х1. Положив х1 = с, получим, что векторы х(1) = (с; -с) при любом с ≠ 0 являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением 1 = 1.
Аналогично можно убедиться в том, что векторы х(2) = (2cl/3, cl).
при любом сl ≠ 0 являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением 2 = 6 .
Наиболее простой вид принимает матрица А линейного оператора , имеющего n линейно независимых собственных векторов e1, e2, ..., en с собственными значениями, соответственно равными 1, 2, ..., n. Векторы e1, e2, ..., en примем за базисные.
Тогда
(ei) = iеi, (i = 1, 2, ..., n)
или с учетом (1)
(еi) = а1iе1 + a2ie2 +...+anien = i ei
откуда aij = 0, если i ≠ j, и аii = i, если i = j.
Таким образом, матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:
A = .
Верно и обратное: если матрица А линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса — собственные векторы оператора .
Можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.
Пример 2. Привести матрицу А = линейного оператора к диагональному виду.
Решение. В примере 1 были найдены собственные значения матрицы 1 = 1, 2 = 6 и соответствующие им собственные векторы x(1) = (с; -с) и х(2) = (2с1/3; с1) . Так как координаты векторов x(1) и х(2) не пропорциональны, то векторы х(1) и x(2) линейно независимы. Поэтому в базисе, состоящем из любых пар собственных векторов x(1)=(с; -с) и х(2) = (2с1/3; с1) (т.е. при любых с 0, c1 0, например, при с = 1, с1 = 3 из векторов х(1) = (1; -1) и х(2) = (2; 3) и т.д.) матрица А будет иметь диагональный вид:
A* = =
Это легко проверить, взяв, например, в качестве нового базиса линейно независимые собственные векторы х(1) = (1; -1) и х(2)= (2; 3). Действительно, матрица С перехода от старого базиса к новому в этом случае будет иметь вид
C = (х(1), х(2)) = .
Тогда в соответствии с (3.22) матрица А в новом базисе х(1), х(2) примет вид:
A* = C-1AC = .
Задание к лабораторной работе №7 по теме «Алгебраическая проблема собственных значений линейного оператора».
Требуется привести к диагональному виду матрицу линейного преобразования
А = из своего варианта из задания №1.
Необходимо вычислить собственные значения и собственные вектора для этой матрицы. А также вычислить диагональную матрицу
A* = B-1AB,
где В матрица, состоящая из собственных векторов матрицы А.