- •30. Экстремумы функции нескольких переменных. Понятие о векторе градиента функции двух переменных.
- •31. Понятие первообразной, основные свойства.
- •24. Интегрирование способом подстановки.
- •25. Метод интегрирования по частям.
- •27. Разложение действительного многочлена на множители.
- •28. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •29.Интегрирование рациональных функций.
- •30. Интегрирование простейших иррациональностей.
- •31. Биномиальный интеграл.
- •32. Интегрирование функции .
- •33 . Интегрирование функции , (первая подстановка Эйлера).
- •34 . Интегрирование функции , (вторая подстановка Эйлера).
- •35 . Интегрирование функции , (третья подст.Эйлера).
- •36. Определенный интеграл и его геометрический смысл.
- •37. Основные свойства определенного интеграла.
- •38. Основные условия интегрируемости функций.
- •39. Связь определенного интеграла с первообразной. Формула Ньютона-Лейбница
- •50. Интегрирование функций, заданных на бесконечном интервале.
- •43. Вычисление площади плоской фигуры.
- •44. Вычисление объема тела вращения.
- •45. Вычисление длины дугиплоской кривой.
- •46. Вычисление площади поверхности тела вращения.
- •57. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.
- •58. Базис векторного пространства. Матрицы, действия с матрицами.
- •59. Определители. Свойства определителей
- •61. Ранг матрицы, обратная матрица.
- •62. Системы линейных уравнений, решения систем, свойства. Однородные и неоднородные системы.
- •63. Решение систем линейных уравнений методами Гаусса и Крамера.
43. Вычисление площади плоской фигуры.
Вычисление площадей плоских фигур. Рассмотрим несколько случаев вычисления площадей плоских фигур.
П ример. Сделать чертеж и вычислить площадь фигуры ограниченной данными линиями , .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
- 6 |
-4 |
-2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
кв. ед.
44. Вычисление объема тела вращения.
Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой , осью абсцисс и двумя прямыми и , находится по формуле .
Пример. Найти объем тела, получающегося при вращении кривой вокруг оси от до . куб. ед.
45. Вычисление длины дугиплоской кривой.
Если кривая на отрезке является гладкой (т.е. производная - непрерывная функция), то длина дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами и , находится по формуле .
Пример. Найти длину дуги кривой от до .
Так как , то . Пусть , , , , тогда .
Пример. Найти длину дуги кривой между точками и в первой четверти.
Длину дуги кривой определим по формуле .Т. к. , , то .
46. Вычисление площади поверхности тела вращения.
Площадь поверхности, образованной вращением оси дуги гладкой кривой между точками и , находится по формуле .
Пример. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси дуги кубической параболы при .
Так как , то . Пусть , , , , тогда .
57. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.
Определение. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства , если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: , где - какие угодно действительные числа.
Определение. Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что .
В противном случае векторы называются линейно независимыми.
Определение. Линейное пространство называется -мерным, если в нем существуют линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми.
Пример. Выяснить, являются ли векторы , , линейно зависимыми.
Составим векторное равенство . Записывая , , в виде вектор - столбцов, получим
Задача свелась к решению системы: . Решим систему методом Гаусса: . Следовательно, . Так как , то , , линейно независимы, следовательно, образуют базис.