- •30. Экстремумы функции нескольких переменных. Понятие о векторе градиента функции двух переменных.
- •31. Понятие первообразной, основные свойства.
- •24. Интегрирование способом подстановки.
- •25. Метод интегрирования по частям.
- •27. Разложение действительного многочлена на множители.
- •28. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
- •29.Интегрирование рациональных функций.
- •30. Интегрирование простейших иррациональностей.
- •31. Биномиальный интеграл.
- •32. Интегрирование функции .
- •33 . Интегрирование функции , (первая подстановка Эйлера).
- •34 . Интегрирование функции , (вторая подстановка Эйлера).
- •35 . Интегрирование функции , (третья подст.Эйлера).
- •36. Определенный интеграл и его геометрический смысл.
- •37. Основные свойства определенного интеграла.
- •38. Основные условия интегрируемости функций.
- •39. Связь определенного интеграла с первообразной. Формула Ньютона-Лейбница
- •50. Интегрирование функций, заданных на бесконечном интервале.
- •43. Вычисление площади плоской фигуры.
- •44. Вычисление объема тела вращения.
- •45. Вычисление длины дугиплоской кривой.
- •46. Вычисление площади поверхности тела вращения.
- •57. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.
- •58. Базис векторного пространства. Матрицы, действия с матрицами.
- •59. Определители. Свойства определителей
- •61. Ранг матрицы, обратная матрица.
- •62. Системы линейных уравнений, решения систем, свойства. Однородные и неоднородные системы.
- •63. Решение систем линейных уравнений методами Гаусса и Крамера.
24. Интегрирование способом подстановки.
Метод замены переменной описывается формулой: , где - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
Пример. Вычислить неопределенный интеграл .
. Пусть , , тогда .
25. Метод интегрирования по частям.
Интегрирование по частям. Пусть и - дифференцируемые функции, тогда .Пример. Вычислить .
Пусть , , , , тогда .
27. Разложение действительного многочлена на множители.
Теорема. Если и - корни квадратного уравнения, то справедливо следующее разложение .
Пример. Разложить квадратный трехчлен на множители. По теореме Виета определим корни квадратного трехчлена: , откуда , . Итак, .
Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения многочленов. Для этого используют различные приемы. Рассмотрим некоторые из них.
1.Вынесение общего множителя за скобку:
.
2. Группировка слагаемых:
.
3. Формулы сокращенного умножения: , , ; , ; , .
Теорема. Пусть дан многочлен степени, , . Разложение является для многочлена единственным с точностью до порядка сомножителей.
28. Разложение рациональной функции на простейшие дроби.
Когда степень многочлена знаменателя дроби равна нулю (т.е. в знаменателе стоит число), дробь является многочленом. По теореме известно, что любой многочлен может быть разложен на множители.
Если степень знаменателя дроби больше нуля и степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь можно представить в виде простейших дробей. Если степень числителя больше дроби знаменателя, то необходимо выполнить деление многочлена на многочлен «углом».
Пример. Разложить рациональную функцию на простейшие дроби.
.
Определим , , и из системы уравнений , . Итак, .
29.Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование рациональных функций сводится к разложению дроби на простейший и проинтегрировав каждое слагаемое.
Пример. .
.
Определим , , и из системы уравнений , . Итак, .
.
30. Интегрирование простейших иррациональностей.
Рассмотрим случаи, в которых замена переменной позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций.
Обозначим через функцию от переменных и , и некоторых постоянных, которая построена с использованием лишь четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления). Например, , и т.д.
Рассмотрим интеграл вида . Такие интегралы рационализируются заменой переменной .
Пример. Вычислить .
Пусть , , , , , тогда .
31. Биномиальный интеграл.
Биномиальным дифференциалом наз-ся выражение , где , и - рациональные числа.
Интеграл от биномиального дифференциала приводится к интегралу от рациональной функции в следующих трех случаях.
Случай 1. Показатель степени - целое число. Тогда интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где - общий знаменатель дробей и .
Случай 2. Число - целое. Тогда сводится к интегралу от рац.функции с помощью подстан. , - знаменатель дроби .
Случай 3. Число - целое. Тогда интеграл рационализируется с помощью подстановки , где - знаменатель дроби .
Пример. Найти интеграл .
Здесь , , - целое число, т.е. имеет место первый случай интегрируемости. Поэтому следует применить подстановку , тогда , и данный интеграл принимает вид