4. Логическое объединение качественных целей.

4,1. Дизъюнкция. Пусть есть m качественных критериев g¹,…,g^m. Цель, состоящая в достижении, по крайней мере, одной из частных целей описывается критерием

.

Пример. Каждый правоверный мусульманин должен хотя бы раз в жизни совершить хадж. Если годы его жизни пронумерованы числами от 1 до m и критерии g¹,…,g^m описывают совершение хаджа в конкретном году, то их свертка описывает выполнения этого обязательства перед Богом.

4.2. Конъюнкция. Пусть есть m качественных критериев g¹,…,g^m. Цель, состоящая в достижении, сразу всех частных целей описывается критерием

Пример. Если за сессию студенту предстоит сдать m экзаменов и каждый из критериев g¹,…,g^m описывает сдачу одного из них, то цель, состоящая в успешной сдаче сессии, описывается критерием

4.3. Отрицание. Пусть имеется качественный критерий g. Критерий 1–g описывает цель, состоящую в недостижении исходной, т.е, цель противоположную исходной.

Пример. Цели уменьшить риск r операции и увеличить надежность g, связаны соотношением g = 1-r

5. Обобщенное логическое свертывание колич критериев

1. Обобщенная дизъюнкция. Часто используется следующий способ свертки. Пусть есть m количественных критериев g¹,…,g^m. Результирующий критерий образуется по правилу ,

Пример. Пусть в шоссейной велогонке принимают участие m спортсменов из одной команды и критерии g¹,…,g^m задают места, занятые ее членами. Очень часто все члены команды работают на одного лидера, то есть критерий команды есть .

2. Обобщенная конъюнкция. Это свертка, при которой количественные критерии g1,…,gm заменяются общим критерием .

Пример. Пусть для производства изделия требуются комплектующие m видов и количества произведенных деталей описываются числами g¹,…,g^m. Критерий описывает количество готовых изделий, которое из них можно собрать. Числа имеют при этом смысл количества деталей i-го вида, необходимых для сборки одного готового изделия.

Заметим, что свертки (4.1), (4.2) прямо следуют из (5.1), (5.2), если все используемые функции принимают значения только 0 или 1.

3. Замена критерия на антагонистический. В этом случае, аналогичном случаю 4.3, максимизация критерия заменяется на минимизацию, то есть критерий g… , заменяется на M= -

Связь 5и4-ЮБ

Пример. Инвестор анализирует целесообразность вложения средств в проект. Он рассматривает две цели: увеличение доходности и надежности Рассмотрим различные варианты сверток.

Экономический. Пусть потеря 1% надежности для инвестора компенсируется 5% доходности. Тогда его критерий эффективности можно записать в виде

Разбиение на удовлетворительные и неудовлетворительные. Если инвестора устраивают только варианты: , а , его качественная цель запишется в виде:

Лексикографический способ рассмотрен в примере, приведенном выше. Отметим важность ранжирования критериев. В зависимости от приоритета надежности или доходности мы получаем разные варианты вложений.

Итак, мы убедились в том, что выбор различных способов свертки приводит к различным решениям. В связи с этим появляется соблазн найти «самую хорошую» свертку, приводящую к решению эффективному с точки зрения всех анализируемых критериев.

Однако, как показал Ю.Б. Гермейер [..], эта задача принципиально не имеет решения. Более того, оказывается любая свертка может быть представлена в виде суперпозиции простых сверток, приведенных выше.

Покажем это на примере качественных целей

Теорема 1. Пусть каждый из критериев g¹,…,g^m принимает лишь два значения 0 и 1, а F:{0,1}^m{0,1} – произвольная функция. Тогда критерий M, определенный условием M(x)=F(g¹(x),…,g^m(x)), может быть выражен через следующие элементарные операции:

1. конъюнкция: g¹,…,g^m 

2. дизъюнкция: g¹,…,g^m 

3. отрицание: gⁱ  1–gⁱ.

Доказательство. Пусть v=(y₁,…,y_m) – произвольный булев вектор размерности m (здесь y_i равны 0 или 1 при любом i=1,…,m). Рассмотрим функцию F_y :{0,1}^m{0,1}, определенную условием , где z_i=x_i, если y_i=1, и z_i=1–x_i, если y_i=0. Непосредственно проверяется, что F_y(y)=1, и F_y(x)=0 для любого xy.

Для заданной нам функции F, обозначим Y={y: F(y)=1}. Покажем, что интересующий нас критерий g представляется в виде

. (*)

В самом деле, если g(u)=1, то по определению вектор t=(g¹(u),…,g^m(u)) принадлежит множеству Y. Значит, произведение в формуле (*) содержит множитель (1–F_Y(g¹(u),…,g^m(u))), равный нулю. Следовательно, и все произведение равно нулю, а вся правая часть формулы (*) равна 1.

Если же g(u)=0, то вектор t=(g¹(u),…,g^m(u)) не принадлежит множеству Y, и для всех yY имеем F_y(g¹(u),…,g^m(u))=0. Значит, для этого u все сомножители в формуле (*) равны 1, а тогда и произведение в правой части равенства (*) равно 1, а сама правая часть равна нулю.

Для завершения доказательства остается заметить, что при построении функций F_y мы пользовались лишь операциями отрицания и конъюнкции, а в формуле (*) использовалась еще и дизъюнкция.

Замечание. Легко видеть, что сама операция дизъюнкции может быть выражена через конъюнкцию и отрицание, то есть список «элементарных» операций может быть сокращен.

Итак, для качественных критериев показано, что любая свертка таких критериев может быть получена с помощью элементарных операций 4.1 – 4.3.

В монографии Ю.Б. Гермейера [..], показано также, что с любой точностью любая свертка произвольных критериев эффективности может быть получена суперпозицией элементарных операций вида

1. экономическая свертка;

2. разбиение на удовлетворительные и неудовлетворительные;

3. конъюнкция(обобщенная);

4. дизъюнкция (обобщенная);

5. отрицание (максимизация антагонистического критерия).

Таким образом, обоснован тезис: не существует «абсолютно оптимальной» свертки. Любая свертка есть результат не формального решения о приоритетности того или иного критерия. Решение это принимает ЛПР, а консультант (исследователь операции) может формализовать это решение в виде свертки, параметры которой опять же должны быть согласованы с ЛПР.

Как правило, исследователь операции должен уметь строить множество выборов, оптимальных по Парето, а ЛПР ответственно выбирает конкретную точку из этого множества.

Определение. Будем говорить, что управление xX доминирует (по Парето) управление yX, а соответствующий вектор выигрышей (g¹(x),…,g^m(x)) доминирует вектор (g¹(y),…,g^m(y)), если для всех i=1,…,m выполняются неравенства gⁱ(x)gⁱ(y), а для некоторого k выполняется строгое неравенство g^k(x)>g^k(y).

Определение. Будем говорить, что управление xX сильно доминирует (по Парето) управление yX, а соответствующий вектор выигрышей (g¹(x),…,g^m(x)) сильно доминирует вектор (g¹(y),…,g^m(y)), если для всех i=1,…,m выполняются неравенства gⁱ(x)>gⁱ(y)

Определение. Управление xX, и соответствующий вектор выигрышей (g¹(x),…,g^m(x)) называются эффективными (оптимальными по Парето), если не существует управления yX, которая доминировала бы управление x.

Определение. Управление xX, и соответствующий вектор выигрышей (g¹(x),…,g^m(x)) называются слабо эффективными, если не существует управления yX, которая сильно доминировала бы управление x.

Пусть в пространстве критериев множество выигрышей задается ломаной OABCDO.

Тогда отрезок BC – определяет множество эффективных точек, отрезок AB – слабоэффективных точек.

Заметим, что для эффективной точки а строго положительный ортант не содержит других точек.