Лекция 7 Иерархические системы управления
Ранее были проанализированы свойства стратегий-управлений, зависящих от поступающей информации равноправных субъектов – иными словами, элементов, находящихся на одном уровне иерархической системы управления ( ИСУ). На примерах и в общей постановке продемонстрированы преимущества, которые заключены в использовании общего класса стратегий.
С другой стороны, на примере «семейный спор» продемонстрирован факт важности наличия приоритета у одного из игроков. Это свойство очень важно для субъектов, находящихся на разных уровнях иерархии. При заданной модели взаимодействия приоритетность выражается через обладание «правом первого хода». Выделенный субъект – «начальник» первым выбирает свою стратегию и сообщает ее «подчиненному».
В игре «семейный спор» такой приоритет позволяет выбрать лучшую ситуацию равновесия.
В более сложных моделях ИСУ приоритетность может выражаться также через возможность делегирования части управлений, определения ограничения на эти управления, задания показателей оценки эффективности функционирования и т.д.
Далее мы рассмотрим модель взаимодействия двух неравноправных субъектов. При этом будем предполагать, что начальник - центр) придерживается принципа принятия решений - обобщенного принципа максимального гарантированного результата (ОПМГР).
Обобщенный принцип максимального гарантированного результата (оп мгр)
Случай двух игроков – партнеров.
Задана исходная игра:
(1)
И ее информационное расширение:
(2)
Пусть игрок 1 ходит первым, то есть выбирает и сообщает второму. Игрок 1 знает принцип оптимальности игрока 2 и может оценить его реакцию – возможный ответ:
Тогда игроку 1 гарантируется выигрыш
(3)
Максимальный гарантированный результат (МГР) игрока 1 равен:
(4)
а оптимальная стратегия
определяется равенством:
(5)
Итак, смысл ОП МГР заключается в следующем:
Игрок 1 для каждой стратегии
оценивает ответ
игрока 2. Выбор любой стратегии
равноценен для игрока 2, но не для игрока
1, который рассчитывает на худший
(минимальный) результат (3). «Перебирая»
все свои стратегии, игрок 1 выбирает
оптимальную из условий (4),(5) максимизации
своего выигрыша.
Замечание 1.
Во всех формулах (3)-(5)
предполагается, что максимум и минимум
достигается (это имеет место когда,
например,
- конечные множества).
В общем случае максимум заменяется на
супремум (sup), а минимум на инфинум (inf).
Пример
1. Если
(антагонистическая
игра)
,
(игрок 1 не имеет
информации о выборе противника),
то МГР игрока 1 (см. (4)) принимает вид
В случае
(игрок 1 знает выбор игрока 2) имеем
Напомним, что всегда
Замечание 2.
В предположении, что игрок
1 знает все параметры игрока 2, то есть
знает множество
и функцию
- рациональный ответ игрока 2 оценивается
следующим образом:
В этом случае, множество
- множество всех эквивалентных для
игрока 2 стратегий
,
доставляющих максимум его функции
выигрыша при фиксированной стратегии
игрока 1.
Замечание 3.
Если игрок 2 доброжелателен по отношению к игроку 1, то есть среди эквивалентных для игрока 2 выборов из множества он делает лучший (с точки зрения игрока 1) выбор, то МРГ игрока 1 оценивается величиной
(6)
Конечно доброжелательность исключается при антагонистическом конфликте ( ).
Если же
,
то в случае доброжелательности игрока
2 игрок 1 получает. как правило,
дополнительный выигрыш.
Пример 2.
Пусть
,
Имеем
Тогда
С другой стороны из условия доброжелательности получаем:
