Формальное определение

Ситуация , удовлетворяющая условиям

_, ,

называется равновесием по Нзшу.

Здесь

Ситуация равновесия обладает свойством устойчивости: ни одному из игроков не выгодно отклоняться от неё, если все остальные партнеры её придерживаются.

Ситуация - называется ситуацией сильного равновесия, если от неё не выгодно отклоняться любой коалиции

(При получаем ситуацию, эффективную по Парето).

Как мы покажем далее, равновесные ситуации далеко не всегда Парето-оптимальны.

Далее будем анализировать игры двух лиц и соответственно использовать запись .

Определение: Стратегия называется абсолютно оптимальной, если для любых имеет место равенство:

Для любого х₂ первый игрок, используя такую стратегию, максимизирует свой выигрыш.

Определим x₂= х₂^а - оптимальный ответ второго игрока из условия:

M₂(x₁^а(x₂), x₂) = M₂(x₁^а(x₂^а), x₂^а )

Симметрично определяется абсолютно оптимальная стратегия второго игрока.

Тогда ситуация равновесия в исходной игре определяется из условия пересечения оптимальных стратегий в точке (x₁^a(x₂^а) , x₂^a(x₁^a))

Замечание.

Прием построения абсолютно оптимальных стратегий и нахождения их пересечений для определения ситуаций равновесия носит общий характер.

Исследуем свойства ситуаций равновесия по Нэшу на следующих традиционных примерах биматричных игр.

Покупатель -продавец.

Стратегии:

продавец = {честно взвесил или обманул}={1,2}

покупатель = {поверил или проверил}={1,2}

Эта игра имеет вид:

Покупатель

Верить проверить

Честно взвесить 0,0 0, -1/2

Продавец

Обмануть 1,-1 -1,1

Выигрыши игроков соответственно определяются следующим образом.

(0,0) – в данном случае продавец честно взвесил товар, а покупатель ему верит, не проверяя.

(1,-1) – в данном случае продавец обманул покупателя, а покупатель поверил ему.

(0,-1/2) – продавец честно взвесил товар, но покупатель ему не поверил и решил проверить.

(-1,1) – продавец обманул покупателя, а тот решил проверить продавца.

Для этой игры построим абсолютно оптимальные стратегии:

х1 а	2	1
х2	1	2

х₂^а = 2

х2 а	1	2
x1	1	2

х₁^а = 1

Итак, имеем:

х₁^а(x₂) :

обманул	честно взвесил
верит	не верит

х₂^а(x₁) :

честно взвесил	обманул
верит	не верит

Следовательно, абсолютно оптимальные стратегии не пересекаются, ситуации равновесия не существует, так как хотя бы одному игроку выгодно отклониться.

Действительно:

(0,0) – выгодно отклониться продавцу,

(1,-1) – покупателю,

(0,-1/2) – покупателю,

(-1,1) – продавцу.

Таким образом, ситуации равновесия не всегда существуют.

Семейный спор.

Рассмотрим биматричную игру вида:

Жена

Футбол балет

Футбол 2,1 0,0 Муж

Балет 0,0 1,2

Матрицы выигрышей имеют следующий смысл:

(2,1) – в данном случае в выигрыше оказывается муж, так как он идет на футбол, причем вместе с женой.

(0,0) – в данном случае ни один из них не оказывается в выигрыше, так как муж не пошел женой на балет, а она не пошла с ним на футбол. То есть не провели вечер вместе, хотя планировали именно так.

(0,0) – опять оба не в выигрыше.

(1,2) – в данном случае в выигрыше оказывается жена, так как они пошли на балет вместе.

Для этой игры абсолютно оптимальные стратегии имеют вид:

жена:

х1 а	1	2
х2	1	2

х₂^а = 2

муж:

х1	1	2
х2 а	1	2

х₁^а = 1

Эти стратегии пересекаются в двух точках;

То есть в данном случае существует две ситуации равновесия: (1,2) и (2,1). Вопрос в том, кто берет на себя инициативу установления равновесия. Этот вопрос решается только обсуждениями в динамике или учитывая, кто в семье главный.

Итак, ситуация равновесия не всегда может быть рациональным принципом оптимальности для бескоалиционной игры, так как партнерам нужно договориться, какую ситуацию выбрать.

По крайней мере, партнерам оказывается выгодным обмен информацией «кто куда собирается пойти». В любом случае мы выходим за рамки модели бескоалиционной игры. Далее будет показано, как обмен информацией влияет на принятие решений.

Реклама

Пусть две фирмы выпускают однотипный товар. Объем рынка как показал маркетинг – 10 ед. товара.

Управление игроков(фирм) – {рекламировать , не рекламировать} ={1,2}

Реклама обходиться в 1 ед. товара.

Биматричная игра имеет вид: