Размещения, с повторениями

Размещением из n элементов по k с повторениями – кортежи, содержащая m элементов, взятых из данного множества, отличающихся либо элементами, либо их порядком следования, причем элементы в комбинациях могут повторяться от 1 до m раз.

Дано множество X={a,b,c,d}. составить все размещения  из этого четыре элементного множества по два с повторениями. Эта записывается в виде:  Ā _n^k.

Запишем  некоторые  кортежи длины 2. (a; a ), (a; b). (a; c),  (a; d), (b; b) …Всего таковых  кортежей    =  4·4=16. С другой стороны это есть численность декартового произведения  =т(АхА)= 4·4=16

Запишем  некоторые  кортежи длины 3. (a; a; a), (a; a; b) …. Всего таковых  кортежей    =  4·4·4=64

Общая задача. Найти число кортежей дины k, которые можно составить из элементов множества, содержащего n элементов.

– число размещений с повторения из n элементов по k

Перестановки с повторениями

Необходимо составить шеренгу из 20 физкультурников, среди которых 10 имеют белые майки, 4- синие, 6 – красные. Сколькими способами это можно сделать?  Если бы цвета не повторялись, то это можно сделать P(20)=20!. В виду того, что цвета будут повторяться,  то перестановок с повторениями будет меньше в 10!·41·61· раз.

Общая задача. Имеются  элементы  k видов. Причем k₁ вида   n₁ штук, k₂ вида   n₂штук и т.д. Сколько перестановок можно сделать из этих элементов?

,  где  n = n₁+n₂+…=n  – сумма всех элементов.

Сочетания с  повторениями

В магазине имеется вода жерех видов. Покупателю нужно приобрести  10 бутылок. Сколькими способами он это может сделать. По-другому, сколько различных наборов по 10 элементов можно составить из  4 наименований.

Составляемые наборы будут отличаться количеством элементов каждого наименования. Причем не обязательно, что бы присутствовали в таких наборах элементы всех наименований. Например, можно выбрать  элементы  только одного наименования или по несколько элементов каждого. В любом случае набор должен содержать установленное для данной ситуации число элементов, например 10 бутылок, как в рассматриваемой конкретной ситуации.

Ситуации такого характера приводят к  сочетаниям с повторениями, Обозначается.

Общая задача. Требуется составить k наборов (кортежей) из элементов данных n  множеств d₁. d₂, d₃,…d_n. Число элементов в каждом из множеств d_i не меньше числа k.

Формула вычисления числа сочетаний с повторениями имеет несколько разновидностей:

=. = . =P(n-1;k).  . Наиболее предпочтительнее первая формула, сведенная к вычислению сочетаний без повторения.

При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве пространства  элементарных событий рассматривается произвольное множество конечной лебеговой меры на прямой, плоскости или пространстве. Событиями называются всевозможные измеримые подмножества множества   .

Вероятность события А определяется формулой

где   обозначает лебегову меру множества А. При таком определении событий и вероятностей все аксиомы А.Н.Колмогорова выполняются.

В конкретных задачах, которые сводятся к указанной выше вероятностной схеме, испытание интерпретируется как случайный выбор точки в некоторой области   , а событие А – как попадание выбранной точки в некоторую подобласть А области   . При этом требуется, чтобы все точки области   имели одинаковую возможность быть выбранными. Это требование обычно выражается словами «наудачу», «случайным образом» и т.д.

Пример 1.

В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.

Решение.

Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:

События. Равенство событий. Сумма и произведение событий. Противоположные события.

Событием называется результат некоторого опыта.

Событие называется случайным, если в данном опыте оно может наступить, но может и не наступить.

Случайные события обозначаем А, В, С,...

Событие называется достоверным, если в данном опыте оно обязательно наступит.Достоверное событие обозначаем U.

Событие называется невозможным, если в данном опыте оно наступить не может.Невозможное событие обозначаем V.

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает иВ. То, что А является частным случаем В, записываем А &isin#in;В.

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В.

Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда оба события: А и В.

Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий.

Событием, противоположным событию А, называется событие   , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

Пусть   - конечное пространство элементарных событий   . В качествеборелевского поля событий рассмотрим систему S всех подмножеств множества   .

Ясно, что при этом аксиомы I и II выполняются. При классическом способе подсчета вероятностей все элементарные события считаются равновероятными. И так как  , то   .

Если теперь A – произвольное событие и   , то согласно аксиоме 2 имеем  .

События   принято называть элементарными исходами данного испытания, а те элементарные исходы, которые в сумме составляют событие А, называютсяблагоприятными случаями для А. Количество благоприятных случаев для события Аобозначим   . Таким образом,   , т.е. вероятность события А равнаотношению числа благоприятных случаев для А к общему числу элементарных исходов испытания.

Частота случайного события и «статистическое определение» вероятности

Пусть А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Представим себе, что это испытание произведено N раз и при этом событие А наступило в   случаях. Тогда отношение

называется частотой события А в данной серии испытаний.

Определение. Вероятностью случайного события А называется число   , около которого колеблется частота этого события в длинных сериях испытаний.

Пример 1.

Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков.Частота рождения мальчика в такой серии наблюдений равна 0.515.

ШКАЛЫ ИЗМЕРЕНИЙ

Данные эксперимента представляют собой результат измерения (наблюдения, регистрации, описания) свойств исследуемых объектов. Измерение – приписывание значений признакам объекта в соответствии с определенными правилами или шкалой измерения. В статистике наиболее часто употребляются следующие шкалы измерения:

- шкала наименований (номинальная, номинативная, шкала классификации). Она используется для отнесения объектов к определенному классу. Объекты, отнесенные к одному и тому же классу, получают одни и те же обозначения. Если количество классов шкалы известно, а также известны правила отнесения к ним объекта, то такая шкала называется категоризованной (примером такой шкалы является пол: м и ж). Простейшим случаем номинальной шкалы является дихотомическая шкала, которая состоит только из двух классов (курит – не курит). К сожалению, для номинальной шкалы арифметические операции не имеют смысла. После того, как с помощью номинальной шкалы мы классифицировали исходные объекты на классы, мы можем перейти от наименований к числам, подсчитав количество наблюдений в каждом из классов. Такая величина называется частотой. Можно работать с помощью математических методов.

- порядковая шкала (ранговая, ординальная). Эта шкала используется для отнесения объектов к определенному классу в соответствии со степенью выраженности, заданности свойства. В порядковой шкале должно быть не менее 3-х классов. Например, 1 класс – подходит для занятия вакантной должности; 2 класс – подходит с оговорками; 3 класс – не подходит. В порядковой шкале мы можем только сказать «больше», «меньше». Но не можем сказать «на сколько». В нашем примере 1 и 2 классы могут быть ближе друг к другу, чем 2 и 3 классы. От класса мы можем перейти к числам с помощью ранжирования. Обычно принято считать, что низший класс получает ранг 2 и т.д. Чем больше классов в шкале, тем больше у нас возможности для математической обработки полученных данных. В общих случаях числа в порядковой шкале не отражают количества свойства, которыми обладают исследуемые объекты. Поэтому для этой шкалы арифметические операции также чаще всего не имеют смысла. Примерами порядковой шкалы являются оценки на экзамене. Основные психологические исследования обычно используют порядковую шкалу, при этом необходимо стараться, чтобы в порядковой шкале было достаточное количество классов. Фактически в качестве единицы измерения в порядковой шкале используется расстояние в1 ранг, но при этом расстояние между соседними рангами может быть различным.

- количественные шкалы. Таких шкал имеется 2 типа: интервальная и шкала отношений. Интервальная шкала позволяет классифицировать и упорядочивать объекты, а также количественно описать различия между свойствами объектов. Для задания такой шкалы устанавливают единицу измерения и произвольную точку отсчета. Примером является календарное время. Для этой шкалы арифметические операции имеют смысл. Шкала отношений отличается от интервальной шкалы только тем, что в ней задано абсолютное начало отсчета. Например, рост в см – абсолютное начало 0. В шкале отношений мы можем определить не только на сколько одно измерение превосходит другое, но и во сколько раз.

-5 С ------------0------------- +5 С

ОК --------------------------------------

С читается, что в психологии примером шкалы отношений являются шкала порога абсолютной чувствительности. Примечание: данные, полученные в одной шкале, можно перевести в другую шкалу только в следующих направлениях: 3 2 1. От количественной к порядковой к номинальной (много курит, немного курит, не курит). В обратном направлении перевод информации не возможен. По мере возможности нужно стараться измерять в количественной шкале, т.к. в этом случае мы сможем перейти к любой из рассматриваемых выше шкал. Однако при этом происходит частичная потеря информации. Перевод исходной выборки из количественной шкалы называется ранжированием. При ранжировании каждому элементу выборки приписывается ранг, который соответствует месту этого элемента в упорядоченной выборке. Наиболее часто выборку ранжируют по возрастанию, т.е. ранг, равный 1, получает наименьший элемент выборки. В результате ранжирования «новая» выборка содержит значения от 1 до n. Пример ранжирования выборки. Пусть в ходе эксперимента измерялся коэффициент IQ и получена следующая выборка:

112, 108, 84, 96, 75, 124, 106, 89. n=8

7 6 2 4 1 8 5 3

Проранжировать полученную выборку (не путать с упорядочиванием). 75, 84, 89, 96, 106, 108, 112, 124.

Иногда в выборке встречаются несколько одинаковых значений. Такая ситуация называется проблемой совпадающих рангов. В этом случае каждому из совпадающих значений присваивается ранг, равный среднему значению рангов, если бы эти элементы не совпадали.

Пример: 108, 96, 96, 74, 84, 108, 104, 108, 103. (3+4):2=3,5

8 3,5 3,5 1 2 8 6 8 5 (7+8+9):3=8

Пример перевода исходной выборки из количественной шкалы в номинальную. Пусть в ходе эксперимента измеряется уровень тревожности в диапазоне от 0 до 20. Необходимо перевести полученные данные в номинальную шкалу, содержащую 3 класса: высший (15-20); средний (6-14); низший (0-5). Исходная выборка имеет вид:

Количественная 14, 6, 8, 4, 18, 12, 10, 9.

Номинальная с с с н в с с с.

Переводя, мы теряем информацию. в-1, с-6, н-1.