Атематическая обработка педагогического эксперимента

Большинство педагогических исследований призвано ответить на вопрос, верно ли сделанное исследователем предположение, подтверждается ли выдвинутая им гипотеза. Наиболее привлекательным с точки зрения эффективности и целесообразности методом психолого-педагогического исследования является опыт. Однако, сами результаты опыта, как правило, не позволяют нам сделать чётких и научно обоснованных выводов о справедливости (или ложности) выдвинутой гипотезы. Проанализировать результаты опыта и сделать полезные выводы помогают математические методы исследования.

         Очевидно, что в большинстве случаев невозможно поставить опыт над всем множеством объектов, в отношении которых формулируется исследовательская гипотеза. Такое множество носит название генеральной совокупности. Например, при желании понять, каким образом меняется успеваемость учащихся при использовании той или иной модели обучения, исследователь должен был бы провести эксперимент с каждым учеником. Но такой метод затруднителен в силу его трудоёмкости, дороговизны и длительности. Поэтому педагогические и психологические опыты, как правило, производятся не над всей генеральной совокупностью исследуемых объектов, а лишь над их частью, называемой выборкой. Таким образом, эксперимент, а затем и анализ полученных результатов осуществляется над выборкой.

         Для корректного исследования необходимо, чтобы изучаемая выборка в максимальной мере соответствовала генеральной совокупности, отражала наблюдаемые в ней явления, их изменчивость, т.е. была репрезентативной. Наиболее простой способ добиться репрезентативности – это составить выборку методомслучайного отбора исследуемых объектов. Данный метод предполагает соблюдение таких условий, при которых каждый член генеральной совокупности имеет равные с другими шансы попасть в выборку. Наличие какой-либо закономерности отбора не допускается.

         Результаты исследования репрезентативной выборки можно подвергать анализу с использованием математических методов. Для этого необходимо специальное оформление (представление) результатов опыта. Наиболее востребованным и часто применяемым является метод представления результатов опыта в виде вариационного ряда.

         Вариационный ряд – это таблица, отображающая зависимость между видами исходов проводимого опыта и количествами тех или иных исходов.

Для удобства при использовании математических методов исследования элементы множества значений выборки (варианты исхода опыта) обозначают через x_i. В рассматриваемом примере их можно обозначить: x₁=1, x₂=2, x₃=4, x₄=6, x₅=8, x₆=10. Количества испытуемых, соответствующих тому или иному варианту, называютчастотами данных вариантов. Обычно частоты обозначаются через m_i. Например, для варианта x₃=4 частота m₃ равна 6. При этом общее количество испытуемых, принявших участие в исследовании, называется объёмом выборки, который находится как сумма всех частот и обозначается буквой n. В данном случаеn=1+3+6+9+4+2=25.

         Для того чтобы показать, какую долю от всего объёма выборки представляет тот или иной вариант, используется понятие относительной частоты.

         Относительные частоты обозначаются через f_i и определяются как отношение соответствующей частоты m_i к объёму выборки n, т.е.  . Таблица, отображающая зависимость между вариантами x_i и относительными частотами f_i называется статистическим рядом.

         Важно заметить, что в вариационном и статистическом рядах варианты принято располагать в порядке возрастания. Сумма относительных частот статистического ряда всегда равна единице:  , где k – количество различных вариантов.

         Составим статистический ряд для рассмотренного опыта с изучением уровня доверия школьников друг к другу.

         Для решения поставленной задачи достаточно разделить соответствующие значения частот на объём выборки n=25. Например,   и т.д. В результате получим следующий статистический ряд:

 

 

Вариант xi	1	2	4	6	8	10
Относительная частота fi	0.04	0.12	0.24	0.36	0.16	0.08

 

Убедимся, что  .

         Иногда для лучшей иллюстрации результатов исследования используют полигон частот.

         Под полигоном частот выборки понимают ломаную линию с вершинами в точках (x_i; m_i). Используют также полигон относительных частот выборки, для которого вершины ломаной имеют координаты (x_i; f_i).

остроим гистограмму результатов тестирования, для чего потребуется нахождение плотности относительной частоты. Она рассчитывается следующим образом. Сначала необходимо узнать объём n всей выборки, т.е. количество участников тестирования.

         n=2+8+15+5=30.

Для каждого интервала находим его длину h_i:

         h₁=3-0=3,  h₂=4-3=1,  h₃=5-4=1,  h₄=6-5=1.

         Для построения гистограммы выборки воспользуемся прямоугольной декартовой системой координат. По оси абсцисс отметим имеющиеся интервалы: от 0 до 3, от 3 до 4, от 4до 5 и от 5 до 6. Сопоставим каждой абсциссе из выбранного интервала ординату, равную соответствующей плотности относительной частоты (см. рисунок). В качестве графика получим отрезки, параллельные оси абсцисс. Для наглядности эти отрезки можно достроить до закрашенных прямоугольников. При этом площадь каждого полученного прямоугольника будет численно равна соответствующей относительной частоте. Поэтому вся площадь закрашенной фигуры будет равна единице. Таким образом, мы получим графическое отображение относительных частот выборки.

         При построении гистограммы мы опирались на данные, записанные в таблице с помощью интервального метода. Если выборка имеет сравнительно большой объём или содержит большое количество различных вариантов, то могут возникнуть трудности вычислительного характера. Для решения этой проблемы и применяется метод интервалов.

         Суть метода интервалов заключается в разбиении множества значений измеряемой величины на интервалы. Тогда выборка записывается следующим образом:

 

Измеряемая величина xi			…
Частота mi	m1	m2	…

 

         Такая запись означает, что выборка содержит m₁ значений величины x_i таких, что , m₂ значений величины x_i таких, что  . Выборку можно представить в виде любого количества интервалов.

         Подытоживая сказанное, заметим, что для организации педагогических исследований с помощью математических методов изначально полученную в результате опыта информацию необходимо представить в виде вариационного или статистического ряда. Для наглядности вариационный и статистический ряды изображаются при помощи диаграмм, полигонов частот или гистограмм.

Зная, как можно представить результаты эксперимента для их математической обработки, целесообразно перейти непосредственно к рассмотрению математических методов.

В математической статистике существует понятие выборочной среднейвеличины.

Пусть выборка задана своим вариационным рядом:

 

Измеряемая величина xi	x1	x2	…	xk
Частота mi	m1	m2	…	mk

 

Тогда выборочной средней будет называться величина, определяемая по формуле:

,        или          ,

где n – объём выборки, т.е.:          .

Воспользовавшись предложенной формулой, найдём выборочные средние для двух классов.

         Для 10 «А» класса:  .

         Для 10 «Б» класса:  .

         Заметим, что выборочная средняя величина в данной задаче показывает среднюю оценку десятиклассников. Тогда, согласно проделанным расчётам, можно сказать, что в 10 «А» классе средняя оценка, полученная за контрольную работу, выше, чем в 10 «Б» классе. Поэтому можно сделать вывод, что 10 «А» класс справился с данной контрольной работой лучше.

         При этом следует иметь в виду, что учащиеся обоих классов писали одну и ту же контрольную работу, и проверял данную работу один учитель. В противном случае, если задания контрольных работ в различных классах были бы разными или они оценивались различными педагогами, сделанный вывод о том, какой класс справился с работой лучше, был бы некорректным.