Характеристики рассеивания

Главная характеристика рассеивания вариационного ряда называетсядисперсией. Выборочная дисперсия D_в рассчитывается по следующей формуле:

,

где x_i – i-ая величина из выборки, встречающаяся m_i раз; n – объём выборки;  – выборочная средняя; k – количество различных значений в выборке. В рассматриваемом примере:x₁=72, m₁=50; x₂=85, m₂=44; x₃=69, m₃=61; n=155; k=3;  . Тогда:

         Заметим, что чем больше значение дисперсии, тем сильнее отличие значений измеряемой величины друг от друга. Если в выборке все значения измеряемой величины равны между собой, то дисперсия такой выборки равна нулю.

Дисперсия обладает особыми свойствами.

Свойство 1. Значение дисперсии любой выборки неотрицательно, т.е.  .

Свойство 2. Если измеряемая величина постоянна X=c, то дисперсия для такой величины равна нулю: D[c]=0.

Свойство 3. Если все значения измеряемой величины x в выборке увеличить в c раз, то дисперсия данной выборки увеличится в c² раз: D[cx]=c²D[x], где c=const.

         Иногда вместо дисперсии используют выборочное среднее квадратическое отклонение  , которое равно арифметическому квадратному корню из выборочной дисперсии:  .

         Для рассмотренного примера выборочное среднее квадратическое отклонение равно  .

         Дисперсия позволяет оценить не только степень различия измеряемых показателей внутри одной группы, но может быть использована и для определения отклонения данных между разными группами. Для этого используется несколько видов дисперсии.

         Если в качестве выборки берётся какая-либо группа, то дисперсия данной группы называется групповой дисперсией. Чтобы выразить численно различия между дисперсиями нескольких групп, существует понятие межгрупповой дисперсии. Межгрупповой дисперсией называется дисперсия групповых средних относительно общей средней:

где k – число групп в общей выборке,  - выборочнаясредняя для i-ой группы, n_i – объём выборки i-ой группы,   - выборочная средняя для всех групп.

         Рассмотрим пример.   

Средняя оценка за контрольную работу по математике в 10 «А» классе составила 3.64, а в 10 «Б» классе 3.52. В 10 «А» учится 22 человека, а в 10 «Б» - 21. Найдём межгрупповую дисперсию.

         В данной задаче выборка разбивается на две группы (два класса). Выборочнаясредняя для всех групп равна:

.

В таком случае межгрупповая дисперсия равна:

         Поскольку межгрупповая дисперсия близка к нулю, то мы можем сделать вывод, что оценки одной группы (10 «А» класса) в малой степени отличаются от оценок второй группы (10 «Б» класса). Иными словами, с точки зрения межгрупповой дисперсии рассмотренные группы в незначительной степени отличаются по заданному признаку.

     Если общая выборка (например, класс учеников) разбита на несколько групп, то помимо межгрупповой дисперсии можно рассчитать ещё внутригрупповую дисперсию. Такая дисперсия является средней величиной для всех групповых дисперсий.

         Внутригрупповая дисперсия D_внгр рассчитывается по формуле:

где k – количество групп в общей выборке, D_i – дисперсия i-ой группы объёма n_i.

         Существует взаимосвязь между общей (D_в), внутригрупповой (D_внгр) и межгрупповой (D_межгр) дисперсиями:

D_в=D_внгр+D_межгр.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.

Практический расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена включает следующие этапы:

1) Сопоставать каждому из признаков их порядковый номер (ранг) по возрастанию (или убыванию).

2) Определить разности рангов каждой пары сопоставляемых значений.

3) Возвести в квадрат каждую разность и суммировать полученные результаты.

4) Вычислить коэффициент корреляции рангов по формуле:.

где   - сумма квадратов разностей рангов, а   - число парных наблюдений.

При использовании коэффициента ранговой корреляции условно оценивают тесноту связи между признаками, считая значения коэффициента равные 0,3 и менее, показателями слабой тесноты связи; значения более 0,4, но менее 0,7 - показателями умеренной тесноты связи, а значения 0,7 и более - показателями высокой тесноты связи.

Мощность коэффициента ранговой корреляции Спирмена несколько уступает мощности параметрического коэффициента корреляции.

Коэффицент ранговой корреляции целесообразно применять при наличии небольшого количества наблюдений. Данный метод может быть использован не только для количественно выраженных данных (пример 1), но также и в случаях, когда регистрируемые значения определяются описательными признаками различной интенсивности (пример 2).