2.2 Метод ковзаючого середнього
Найпростішим випадком використання даного методу є такий, коли із трьох вибраних величин вихідного масиву для функції вираховується згладжена величина як середнє арифметичне значення:
(2.2.1)
Цей вираз був отриманий наступним чином.
Вибираємо в даному випадку для згладжування степенний поліном нульової степені , а для його побудови вибираємо з вихідного масиву значень на кожному кроці згладжування сукупність з трьох точок (тобто мінімальної кількості точок для апроксимації за допомогою прямої лінії) . У якості міри близькості застосовуємо квадратичний функціонал:
(2.2.2)
із необхідної умови екстремуму (мінімуму) якого знаходимо оптимальне значення шуканого коефіцієнта :
(2.2.3)
(2.2.4)
де - згладжене поліном нульової степені значення сигналу.
Звісно, що при такій процедурі згладжування втрачаються два крайні значення (нульове та ) з масиву вихідних даних. Уся сукупність кроків таких розрахунків зветься однократним згладжуванням (або одним проходом згладжування). Можна повторити цю процедуру обробки, але вже з отриманим результатом у вигляді масиву даних , що дає вже двократне згладжування:
(2.2.5)
Підставивши вираз (2.2.1) для кожної складової співвідношення (2.2.1) отримуємо у підсумку:
що безпосередньо зв’язує значення другого проходу згладжування з вихідними значеннями сигналу. Наприклад: зафіксовані вихідні значення сигналу (табл.2.1) які послідовно згладжені за два проходи, що дає два масиви :
|
|
|
|
|
0 |
0.0 |
5 |
--- |
--- |
1 |
0.1 |
5.4 |
5.63 |
--- |
2 |
0.2 |
6.5 |
5.97 |
5.89 |
3 |
0.3 |
6.0 |
6.07 |
6.02 |
4 |
0.4 |
5.7 |
6.03 |
6.14 |
5 |
0.5 |
6.4 |
6.33 |
6.39 |
6 |
0.6 |
6.9 |
6.80 |
6.80 |
7 |
0.7 |
7.1 |
7.26 |
7.18 |
8 |
0.8 |
7.8 |
7.47 |
--- |
9 |
0.9 |
7.5 |
--- |
--- |
Розрахунок: Завдання 1
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0 |
0,2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1 |
1.2 |
1.4 |
1.6 |
1.8 |
|
2.5 |
1.82 |
1.32 |
0.96 |
0.7 |
0.5 |
0.37 |
0.27 |
0.19 |
0.14 |
Функція, якою згладжуються дані має вигляд
Логарифмуємо функцію та самі значення функції .
Отримуємо суму квадратів різниць значень та :
Диференціюємо отриману функцію по змінним та та прирівнюємо часткові похідні до для знаходження мінімуму функції:
4) Складемо систему рівнянь та розв’яжемо її:
5) Знаходимо суму квадратів відхилень:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1 |
1.2 |
1.4 |
1.6 |
1.8 |
|
2.5 |
1.82 |
1.32 |
0.96 |
0.7 |
0.5 |
0.37 |
0.27 |
0.19 |
0.14 |
|
2.477 |
1.802 |
1.311 |
0.954 |
0.694 |
0.505 |
0.368 |
0.267 |
0.195 |
0.142 |
|
0.023 |
0.018 |
8.662e-3 |
5.867e-3 |
5.77e-3 |
-5.124e-3 |
2.471e-3 |
2.585e-3 |
-4.572e-3 |
-1.571e-3 |
Максимальне по модулю відхилення буде:
Графік вихідного сигналу:
Графік згладженого сигналу: