Тема 4. Повторение независимых испытаний. Наивероятнейшее число успехов. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона.

Вариант 1. Университетом для студенческих общежитий приобретено 5 телевизоров. Для каждого из них вероятность выхода из строя в течение гарантийного рока равна 0,1. Определить вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя: а) ровно один; б) не менее двух; в) не более трех телевизоров.

Вариант 2. В результате систематически проводимого контроля качества изготовляемых предприятием деталей установлено, что брак составляет в среднем 5%. Сколько изготовленных деталей нужно взять, чтобы наиболее вероятное число годных среди них было равно 60 штук?

Вариант 3. Вероятность того, что какой-нибудь абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 4 абонента?

Вариант 4. Вероятность того, что саженец ели прижился и будет расти, равна 0,8. Посажено 400 саженцев. Какова вероятность того, что нормально вырастет: а) ровно 250 деревьев; б) не менее 250 деревьев.

Вариант 5. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов ровно 5000.

Вариант 6. Вероятность того, что изготовленная рабочим деталь отличного качества, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 100 деталей окажется отличного качества: а) ровно 80 деталей; б) от 70 до 85 деталей; в) не менее 85 деталей.

Вариант 7. В магазине 5 холодильников. Вероятность выхода каждого холодильника из строя в течение года равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение года ремонта потребует: а) ровно 4 холодильника; б) не менее 2 холодильников; в) не более 1 холодильника.

Вариант 8. Известно, что в большой партии радиоламп 90% стандартных. Найти вероятности того, что из 300 отобранных радиоламп стандартных окажутся: а) ровно 270; б) от 260 до 275; в) не менее 275.

Вариант 9. Чему равна вероятность наступления события в каждом из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 25?

Вариант 10. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятности того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена: а) ровно 75 раз; б) от 75 до 80 раз; в) не менее 80 раз.

Методические указания к решению задач

Тема 1. Элементы комбинаторики. События и их вероятности, классический и геометричесий способы подсчета вероятностей

1. При классическом способе подсчета вероятность события А вычисляется по формуле

,

где все элементарные исходы равновозможны (т.е. ни один из них не является более возможным, чем другой),несовместны и единственно возможны;

n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания;

m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А.

2. Для подсчета m и n , а также для других целей, часто приходится использовать комбинаторные понятия и формулы.

Пусть имеется n различных объектов (элементов).

а). Расположение их всех в каком-нибудь определенном порядке называется перестановкой из n элементов.

Перестановки, состоящие из одних и тех же элементов, отличаются только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок: ,

где , n=1,2,3,…; 1! = 1, 0! = 1.

б). Расположение некоторых m (m n) из них в определенном порядке называется размещением m элементов из n элементов. Размещения отличаются и составом и порядком элементов. Число всех возможных размещений

.

Понятно, что при m=n размещение является перестановкой.

в). Если не принимать во внимание порядок элементов в размещении, а учитывать только его состав, то получится сочетание m элементов из n. Сочетания отличаются только составом элементов.

Число всех возможных сочетаний

.

3. Геометрический способ подсчета вероятности применяется, когда элементарные исходы эксперимента могут быть интерпретированы как точки отрезка, фигуры или тела.

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Р = Длина l/ Длина L.

Аналогично определяются вероятность попадания точки в плоскую фигуру g, составляющую часть плоской фигуры G

Р = Площадь g/Площадь G

и вероятность попадания точки в пространственную фигуру , которая составляет часть фигуры V

Р = Объём /Объём V.

Пример 1. (Варианты 1,2,3,4)

В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение:

Событие А = {извлечены три окрашенных детали}. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 15, т.е.

Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, равно числу способов, которыми можно извлечь 3 детали из 10 окрашенных, т. е.

Пример 2. (Варианты 5,6,7,8)

В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. Наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины и четыре мужчины.

Решение:

Событие А= {среди отобранных ровно три женщины}. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 7 человек из всех работников, цеха, т.е. из 10 человек.

Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди 7 отобранных ровно 3 женщины): трёх женщин можно выбрать из четырёх способами; при этом остальные 4 человека должны быть мужчинами. Выбрать же четырех мужчин из шести мужчин можно способами.

Следовательно,

Пример 3. (Варианты 9,10)

На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает в кольцо, образованное построенными окружностями.

Р ешение:

Площадь кольца (фигуры g) .

Площадь большого круга

Искомая вероятность .