Потенциал

Величина φ=W/q (разные заряды в одной и той же точке поля будут обладать различной энергией, но отношение W/q для всех зарядов будет одним и тем же ) называется потенциалом поля в данной точке, используется для описания электрических полей.

Формула для потенциала

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. В то время как напряжённость поля складывают векторно, а потенциалы складывают алгебраически.

Заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом φ, обладает потенциальной энергией

W=q*φ, следовательно, работа сил поля над зарядом q может быть выражена через разность потенциалов

Таким образом работа, совершаемая над зарядом силами поля, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках(т.е. на убыль потенциала).

Если заряд q из точки с потенциалом φ удаляется на бесконечность(где по условию потенциал равен нулю), работа сил поля будет равна

Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным зарядом при его удалении из данной точки на бесконечность. Так в СИ за единицу потенциала, называемую вольтом, принимается потенциал в такой точке, для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного 1 кулону, нужно совершить работу в 1 джоуль.

4.Диполь во внешнем электрическом поле(см 3 ответ).Энергия и вращающий момент.

Взаимная энергия зарядов q₁ и q₂ определяется по следующей формуле

Рассмотрим систему. Состоящую из n точечных зарядов q₁ q₂ , энергия системы равна энергии взаимодействия зарядов, взятых попарно

Множитель ½ берётся т.к. i и kпробегают значение от 1 до n,

И учитываются 2 раза.

φ_i = потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд q_i всеми зарядами кроме i-ого.

Энергия заряженного проводника.

Разделим поверхность проводника на бесконечно большое число малых участков, заряды которых равны ∆q их можно считать точечными, поверхность проводника эквипотенциальная, т.е. потенциалы всех точек поверхности одинаковы и равны φ.

Энергия заряженного конденсатора

Найдём силу взаимодействия, с которой притягиваются друг к другу пластины плоского конденсатора.

, знак - , что F- является силой притяжения.

Энергия электрического поля

Вращающий момент.

5.Теорема Гаусса.

Рассмотрим поле точечного заряда q и вычислим поток вектора Е через замкнутую поверхность S, заключающую в себе заряд. Мы знаем, что количество линий вектора Е, начинающихся на заряде +q или заканчивающихся на –q, численно равно q/ε_0.

Поток вектора Е через любую замкнутую поверхность

равен числу линий, выходящих наружу, т.е. начинающихся

на заряде, если он положителен, и числу линий, входящих

внутрь, т.е. оканчивающихся на заряде, если он отрицателен.

Можно записать, что

Знак пока совпадает со знаком заряда q.Теперь допустим, что внутри замкнутой поверхности находится N точечных зарядов q_1,q_2, q_n . В силу принципа суперпозиции напряженность Е поля, создаваемого всеми зарядами, равна сумме напряженностей Е_i , создаваемых каждым зарядом в отдельности Е=∑Е, поэтому

Каждый из интегралов, стоящих под знаком суммы, равен q_i/ε_0. Следовательно,

Доказанное нами утверждение носит название теоремы ГАУССА, Эта теорема гласит, что поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε₀ .

6.Расчёт электрических полей с помощью теоремы Гаусса: поле бесконечной однородно заряженной плоскости, поле бесконечного однородного заряженного цилиндра; поле плоского, сферического конденсаторов, цилиндрического конденсаторов; поле объёмно заряженного шара и сферы.

Теорема Гаусса позволяет в ряде случаев найти напряженность поля гораздо более простыми средствами, чем с использованием формулы для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей.

Если заряд сосредоточен в тонком поверхностном слое несущего заряд тела, распределение заряда в пространстве можно охарактеризовать с помощью поверхностной плотности σ, которая определяется выражением

σ=dq/dS.

Если заряд распределён по объёму или поверхности цилиндрического тела( равномерно в каждом сечении), используется линейная плотность заряда

£=dq/dl

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости.

Пусть поверхностная плотность заряда во всех точках плоскости одинакова и равна σ; для определённости будем считать заряд положительным. Из соображений симметрии вытекает, что напряженность поля в любой точке имеет направление, перпендикулярное к плоскости. Действительно, поскольку плоскость бесконечна и заряжена однородно, нет никаких оснований тому, что бы вектор Е отклонялся в какую либо сторону от нормали к плоскости. Далее очевидно, что в симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению.

Согласно теореме Гаусса должно выполнятся условие

Из которого

Полученный нами результат не зависит от длины цилиндра. Это означает, что на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине

Поле бесконечного заряженного цилиндра.

Пусть поле создаётся бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью σ. Из соображений симметрии следует, что напряженность поля в любой точке должна быть направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярной к осям цилиндра, а величина напряженности может зависеть только от расстояния . Представим себе мысленно коаксиальную с заряженной поверхностью замкнутую цилиндрическую поверхность радиуса r и высоты h . Для оснований цилиндра Е_п =0, для боковых Е_п = Е(r). Следовательно поток вектора Е через рассматриваемую поверхность равен E(r)*2πrh. Если r>R, внутрь поверхности попадает заряд q=λh (λ-линейная плотность заряда). Применив теорему Гаусса, получим

Отсюда

Если r<R, рассматриваема поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего E(r)=0. Таким образом, внутри равномерно заряженной цилиндрической поверхности бесконечной длины поле отсутствует. Напряженность поля вне поверхности определяется линейной плотностью заряда λ и расстоянием r от оси цилиндра. Направление Е зависит от знака.

Из формулы следует, что уменьшая радиус цилиндра R(при неизменной λ), можно получить вблизи поверхности цилиндра поле с очень большой напряженностью.

Поле заряженной сферической поверхности.

Поле, создаваемое сферической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью σ, будет, очевидно, центральео симметричным. Это означает, что направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, а величина напряженности является функцией расстояния r от центра сферы. Вообразим концентрическую с заряженной сферой поверхность радиуса r . Для всех точек этой поверхности Е_п=Е(r). Если r>R, внутрь поверхности попадает весь заряд, распределённый по сфере. Следовательно,

Откуда

Сферическая поверхность радиуса к, меньшего , чем R, не будет содержать зарядов, вследствие чего E(r)=0. Таким образом, внутри сферической поверхности, заряженной с постоянной поверхностной плотностью σ, поле отсутствует. Вне этой поверхности поле тождественно с полем точечного заряда той же величины, помещенного в центр сферы.

Поле объёмно – заряженного шара.

Пусть шар радиуса К заряжен с постоянной объемной плотностью ρ. Поле вэтом случае обладает центральной симметрией. Для поля вне шара получается тот же результат, что и в случае поверхностно- заряженной сферы. Однако для точек внутри шара результат будет иным. Сферическая поверхность радиуса r (r<R) заключает в себе заряд, равный ρ*4/3πr³. Поэтому теорема Гаусса для такой поверхности запишется следующим образом:

Отсюда, заменив ρ через q/(4/34/3πr³) , получим

Таким образом, внутри шара напряженность поля растёт линейно с расстоянием r от центра шара. Вне шара напряженность убывает по такому же закону, как и поля точечного заряда.