2.4 Общие свойства математического ожидания

Предложение 2.1 Имеют место следующие свойства.

1. Если случайная величина постоянна, то есть, для некоторой константы имеет место , то

2. для любого .

3. Если существуют, то

4. Если и существуют и для всех , то

В частности, если , то математическое ожидание неотрицательно при условии, что оно существует.

Доказательство.

Свойства 1) и 2) очевидны. Докажем 3).

Докажем 4). Так как при каждом имеет место , то

что влечет .

Замечание 2.2

Свойства 2) и 3) называются свойствами линейности математического ожидания. Обратим внимание на то, что линейность имеет место всегда, без каких-либо дополнительных предположений (кроме предположения о существовании самих математических ожиданий).

2.5 Дисперсия случайной величины

Определение 2.4 Дисперсией случайной величины называется число

Очевидно, что дисперсия всегда неотрицательна.

Замечание 2.3 Иногда для вычислений более удобна формула

Упражнение 2.2 Получить эту формулу. Указание: использовать свойства 1)-3) математического ожидания.

Смысл дисперсии состоит в том, что она характеризует разброс значений случайной величины относительно ее среднего значения. Величина называется средне-квадратичным отклонением значений случайной величины от ее среднего.

Упражнение 2.3 Найти дисперсию бернуллиевской случайной величины.

Упражнение 2.4 Найти дисперсию числа очков, выпавших при бросании игральной кости.

Упражнение 2.5 Найти дисперсию пуассоновской случайной величины.

2.6 Общие свойства дисперсии

Предложение 2.2 Имеют место следующие свойства.

1. Дисперсия не изменится, если к случайной величине прибавить константу:

В частности, если с.в. постоянна, то есть, , то .

2. для любого .

3. где -- ковариация, определяемая по следующей формуле:

Замечание 2.4 Легко видеть, что , и что ковариация линейна по каждому из своих аргументов:

Упражнение 2.6 Доказать свойства 2) и 3) Предложения 2.2. При доказательстве свойства 3) воспользоваться Замечанием 2.4.

Упражнение 2.7 Пользуясь свойствами математического ожидания, показать, что ковариацию можно вычислять по следующей формуле:

Замечание 2.5

Особо отметим, что, в отличие от математического ожидания, дисперсия -- это нелинейная операция, как видно из свойств 2) и 3). Ее можно условно назвать квадратичной функцией по аналогии с квадратичными формами в линейной алгебре.

2.7 Индикаторы событий

Здесь мы рассмотрим простейшие случайные величины, тесно связанные с событиями. Они очень удобны при изучении произвольных случайных величин.

Определение 2.5 Индикатором события называется случайная величина :

Другими словами, , если происходит событие , и , если событие не происходит. Таким образом, является бернуллиевской случайной величиной (см. Пример 2.1).

Замечание 2.6

См. также Пример 2.4 и Упражнение 2.3.

Предложение 2.3 (Без доказательства.) Пусть дана последовательность случайных величин такая, что все математические ожидания существуют и

Тогда

a)

абсолютно сходится ,

б)

существует математическое ожидание ,

в)

Лемма 2.2 Пусть -- последовательность несовместных событий: . Рассмотрим случайную величину вида

(8)

Предположим, что Тогда

Доказательство. Данное утверждение есть следствие сформулированного выше Предложения. Действительно, обозначим . Заметим, что . Легко проверить, что условия Предложения 2.3 выполнены. Следовательно,

Замечание 2.7

Обратим внимание на то, что в бесконечной сумме (8) при любом фиксированном только одно слагаемое отлично от нуля. Это вытекает из несовместности событий .