1.4 Операции над событиями

Посмотрим теперь, как язык теории вероятностей трактует теоретико-множественные операции.

Если -- событие, то его теоретико-множественное дополнение

тоже есть событие. называется отрицанием события . Событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие .

Рис. Операции над событиями: отрицание, объединение, пересечение и разность

Если и -- события ( ), то , и -- также события, которые можно описать следующим образом:

		произошло хотя бы одно из событий или ,
		одновременно происходят события и ,
		произошло событие , но не произошло .

Если , то говорят, что и несовместны (не могут произойти одновременно).

Принято писать вместо . Если , то пишут вместо .

Упражнение 1.3 Обратимся снова к последовательности испытаний Бернулли. Пусть события определены формулой (4). Проверить, что для произвольного набора индексов

Указание: начать с простых случаев .

1.5 Простейшие свойства вероятностей

В данном параграфе мы покажем, какие свойства вероятности имеют место по отношению к только что введенным операциям над событиями.

Предложение 1.1 Пусть и -- некоторые события, т.е., . Имеют место следующие свойства.

1. , , .

2. Если , то

3. В общем случае (если не предполагать, что )

Доказательство.

1. .

2. В случае, когда ,

3. В общем случае имеет место представление:

Следовательно,

Заметим, что . Следовательно, по свойству 2

Аналогично, . Итак,

Предложение 1.2 (Обобщение предыдущего) Пусть -- события.

1. Если , то

2. В общем случае,

1.6 Классическое определение вероятностей

Под классическим определением вероятностей подразумевают выбор такого конечного вероятностного пространства, в котором все элементарные исходы равновероятны:

Покажем, что тогда с необходимостью .

Действительно, пусть . Имеем,

Следовательно, вероятность любого события может быть подсчитана по формуле:

которая читается так: вероятность события есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

Стоит еще раз обратить внимание на то, что эта формула справедлива только для случая, когда все исходы равновероятны. Так, в Примере 1.1, мы имеем дело с классическим определением вероятностей, а в схеме Бернулли с параметром (см. Пример 1.2) -- нет.