23.Застосування методу Монте-Карло для розв'язування детермінованих задач (обчислення визначеного інтегралу).

За допомогою методу Монте-Карло (методу статистичних досліджень) розв’язують задачі, в яких потрібно врахувати вплив неконтрольованих випадкових факторів і зробити в таких умовах аргументований висновок щодо можливих напрямків розвитку системи та оптимальної стратегії управління нею. Метод Монте-Карло являє собою сукупність формальних процедур, засобами яких відтворюються на ЕОМ будь-які випадкові фактори. Метод Монте-Карло застосовується в багатьох галузях науки і техніки. За допомогою процедур Монте-Карло розроблено численні методи для обчислення кратних інтегралів, розв’язування інтегральних і диференціальних рівнянь. У задачах оптимізації процедура Монте-Карло використовується для генерування випадкових точок з області визначення цільової функції та установлення випадкових напрямів руху до екстремуму в пошукових методах. Вибірковий метод Монте-Карло найкорисніший при моделюванні стохастичних ситуацій, він придатний також і для розв’язування деяких цілком детермінованих задач, що не мають аналітичних розв’язків.Алгоритм обчислення визначеного інтегралу за методом Монте–Карло:

Кількість випробувань n не залежить від кратності інтегралу, тому метод Монте–Карло знаходить застосування для обчислення багатократних інтегралів, де застосовувати інші методи чисельного інтегрування неефективно через сильне збільшення кількості обчислювальних операцій.

24.Реалізація випадкової величини методом добору (відбраковування).

Нехай потрібно дістати послідовність реалізації випадкової величини X, щільність розподілу ймовірностей якої обмежена на скінченному відрізку [а, b] (якщо такі умови не виконуються, то початковий розподіл завжди можна зрізати із заданою точністю). Таку послідовність випадкових чисел можна знайти методом добору (відбракування). Це означає, що шукана сукупність чисел являє собою деяку вибірку із спеціально утвореної множини випадкових чисел, а саме: з початкової множини вилучаються числа, що не задовольняють певну умову. Отже, сутність методу полягає ось у чому.

Нехай створено чергові числа РВП [0, 1]. Виконаємо перетворення Випадкова величина x' рівномірно розподілена на відрізку [a, b]; y — на відрізку [0, c]. Має місце така теорема.

Теорема. Випадкова величина x, визначена умовою

, якщо (8.9)

має щільність розподілу

Доведення міститься у посібниках [1] та [2].

З допомогою цієї теореми можна побудувати доволі простий алгоритм генерування чергового випадкового числа , що має розподіл f (x).

1. Генеруємо наступні два числа РВП [0, 1].

2. Обчислюємо

3. Перевіряємо умову Якщо умова виконується, то переходимо до п. 4, у противному разі до індексу i додаємо 1 і переходимо до п. 1.

4. Формуємо чергове випадкове число за правилом

25.Поняття і характеристики рівномірної випадкової послідовність чисел.

Послідовність випадкових чисел - це послідовність, в якій всі елементи є незв'язаними. Це визначення приводить до такого парадоксу, що будь-яка послідовність може бути як випадковою, так і невипадковою залежно від того, як ця послідовність отримана. Наприклад, наступний рядок чисел 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 була отримана друкуванням верхнього рядка клавіатури по порядку, таким чином послідовність звичайно не може розглядатися як що згенерувала випадковим чином. Але як бути, якщо ви отримаєте ту ж саму послідовність, виймаючи пронумерований тенісні кулі з боченка. В даному випадку це вже випадковим чином послідовність, що згенерувала. Даний приклад показує, що випадковість послідовності залежить від того, як вона була отримана, а не від неї самої. У загальному випадку вважається добре, коли числа в послідовності випадкових чисел розподілені рівномірно (не плутайте це з нормальним розподілом або колоподібною кривою). При рівномірному розподілі всі події рівноймовірні так, що діаграма рівномірного розподілу прагне до прямої горизонтальної лінії, а не до кривій. До широкого розповсюдження комп'ютерів всякий раз, коли необхідні були випадкові числа, вони виходили або киданням гральних кісток, або вийманням пронумерованих куль з ящика. У 1955 році фірма RAND опублікувала таблицю з 1 мільйона випадкових чисел, отриманих за допомогою обчислювальної машини.

Випадкова величина x, рівномірно розподілена на відрізку [0, 1], може мати нескінченну кількість реалізацій. Проте при машинному використанні методу Монте-Карло на ЕОМ можна утворити лише випадкових чисел, що не збігаються одне з одним (n — кількість двійкових розрядів машинної пам’яті). Тому рівномірна випадкова послідовність чисел (скорочено РВП [0, 1]), використана при машинних розрахунках, фактично є реалізацією дискретної випадкової величини, розподіл якої називається квазірівномірним (від лат. quasi — майже, ніби, неначе).

Від сукупності чисел 0, 1, 2, ...,  –1, які можна подати з допомогою двійкових розрядів, легко перейти до можливих значень дискретної випадкової величини x, що має квазірівномірний розподіл на інтервалі [0, 1]:

, (i = 0, 1, 2,..., –1). (2.10)

В останньому виразі знаменник має вигляд – 1, а не для того, щоб до сукупності величин можна було включати як 0, так і 1, а інтервали між ними на числовій осі були однакові. Крім того, математичне сподівання величини дорівнює 0,5, а при діленні на оцінка математичного сподівання була б зсуненою