12

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОДЕЛИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ,

ЛОГИСТИКИ И РИСКА

Учебное пособие

для студентов по курсу .ДС.08 «Моделирование экономических и производственных процессов» по специальности 010200 – Прикладная

математика и информатика

ВОРОНЕЖ

2005

Утверждено Учебно-методической комиссией факультета Прикладной математики, информатики и механики, «____» _________ 2005 г, протокол № ____

Составители: Баева Н.Б.

Азарнова Т.В.

Науч. ред. Тихомирова О.А.

Учебное пособие подготовлено на кафедре Математических методов исследования операций факультета Прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета. Рекомендуется для студентов дневного и вечернего отделений

Введение

Знакомство студентов с широким спектром упражнений и задач, представляющих собой описание фрагментов типовых ситуаций, возникающих при решении задач математического моделирования экономических и производственных процессов, является важным направлением совершенствования практически полезных навыков прикладного математика. Основной задачей данного пособия является создание учебной среды, позволяющей научить студентов использовать разнообразные приемы моделирования при решении реальных задач экономической практики.

Учебное пособие содержит три главы, в которых приведен справочный материал, содержащий описание приемов моделирования и перечень заданий, выполнение которых в указанном порядке обеспечивает устойчивое овладение данными приемами. Типы заданий охватывают весь круг прикладных макроэкономических и микроэкономических моделей, читаемых в курсе «Моделирование экономических и производственных процессов» для студентов 4 курса дневного и 5 курса вечернего отделения факультета ПММ. Приложение содержит формулировку заданий и упражнений для самостоятельной работы студентов и может быть использовано студентами для самоконтроля глубины усвоения основ прикладного моделирования экономических и производственных процессов.

При выполнении заданий, приведенных в данных методических указаниях, следует иметь в виду, что в первую очередь следует овладеть приемами, используемыми в § 1 и § 2. Все остальные задания можно выполнять в произвольном порядке. Внутри параграфов задания приведены в порядке возрастания сложности разработки их математических моделей.

Глава 1. Основы теории экономико-математического моделирования производственных процессов

§ 1. Основные понятия и факты

Экономико-математическое моделирование понимается как направление экономической теории, изучающее закономерности построения анализа, интерпретации и применения для решения практически важных задач особых объектов являющихся образами экономических процессов или явлений. Экономические объекты процессы или явления будем впредь называть оригиналами. Моделирующее отображение оригиналов представимо в виде композиции двух отображений — огрубляющего и гомоморфного. Сначала, огрубляющее отображение выделяет в исходном объекте её составную часть с меньшим числом элементов и связей между ними, а затем, гомоморфное отображение переводит подсистему в модель, при этом может произойти дальнейшее огрубление, т. е. число элементов и связей в модели может стать меньше, но при этом не происходит искажения структуры или иных характеристик, сохраняющих сущность оригинала. Итак, иногда модель – это упрощенный образ оригинала, который в процессе изучения замещает оригинал, сохраняя при этом важные для данного изучения, типичные его черты. Обратный переход от модели к оригиналу называется интерпретацией модели. Одно из достоинств метода моделирования состоит в возможности построения моделей с “удобной” структурой, что делает исследование модели более легким, чем исследование оригинала. Существует много иных дефиниций понятия - «модель», «моделирование». Наиболее известным и используемым многими исследователями является следующее определение, введенное в [1].

Моделью называется объект искусственно созданный или реально существующий, который с заданной степенью схожести воспроизводит оригинал так, что позволяет получить новую информацию об оригинале.

Моделирование-исследование оригинала с помощью модели.

Разработка модели т.о. – составляет этап сложного процесса, который содержит и иные этапы – анализ модели, проверка её адекватности оригиналу, выбор исходной информации и проверка её достоверности. Приведем следующую классификацию моделей.

По типу реализации различаются материальные и знаковые модели. Под материальным моделированием понимают моделирование, при котором исследование ведется на основе модели, воспроизводящей основные функциональные, динамические и геометрические характеристики изучаемого объекта. При этом выделяют физическое и аналоговое моделирование. Физическим называется моделирование, при

котором реальному объекту противопоставляется его уменьшенная или увеличенная копия, допускающая исследование в лабораторных условиях, с последующим переносом свойств изучаемых процессов или явлений с модели на объект на основе теории подобия. Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов и явлений, имеющих разную физическую природу, но одинаково описываемых формально (схемами, уравнениями и т.п.).

Рис. 1. Классификация моделей

Идеальное моделирование основано не на материальной аналогии модели и объекта, а на идеальной и носит теоретический характер. Это, как правило, искусственно созданный объект. Интуитивное моделирование основано на интуитивном представлении об объекте исследования, не поддающееся формализации или не нуждающемся в ней. Знаковое моделирование использует в качестве модели условное описание системы оригинала с помощью данного алфавита символов и операций над символами. Наиболее важными в данном классе являются концептуальные и математические модели.

Концептуальная модель представляет собой агрегированный вариант традиционного описания основных закономерностей функционирования изучаемой системы, состоящий из научного текста, сопровождаемого блок-схемой системы, таблицами, графиками и т.п. К достоинствам концептуальных моделей относятся универсальность, гибкость, разнообразие средств выражения и др. Среди недостатков выделяют высокую неоднозначность интерпретации и статичность.

Математической моделью оригинала называется его представление в виде

(*)

Здесь – внешние переменные и параметры; – внутренние переменные и параметры; функции связи внешних и внутренних переменных и параметров; - передаточная функция. Выражение (*) может быть переписано в виде:

(**)

.

Если переменные и функции времени, то задача (**) определяется на и становится динамической

.

Описанные выше модели называются балансовыми. Весьма распространены модели скалярной оптимизации, векторной оптимизации и теоретико-игровые. Их вид приведен ниже.

В зависимости от свойств разрешающего оператора F математические модели динамичных систем классифицируются по разным признакам. Модель называется аналитической, если для оператора найдено точное аналитическое выражение, позволяющее для любых входных функций и начальных условий непосредственно определять значение переменных состояния в любой нужный момент t.

В подавляющем большинстве случаев нахождение аналитического выражения для разрешающего оператора оказывается затруднительным или в принципе невозможным. Если совокупность уравнений и неравенств непротиворечива (среди них нет взаимоисключающих) и полна (т.е. она содержит всю необходимую информацию для нахождения решений) и, с помощью ЭВМ, удается найти их численное решение, в результате чего получается реализация оператора в виде машинной программы, с помощью которой по входным и начальным данным рассчитываются значения переменных состояний на интервале , то в данном случае мы имеем имитационную модель.

В детерминированной модели значения переменных выражения (*) не меняются во времени. Стохастическая модель каждой переменной ставится в соответствие распределение возможных значений, характеризуемое такими вероятностными показателями, как математическое ожидание , среднее квадратическое отклонение и т. п.

Дискретная модель описывает поведение системы на фиксированной последовательности моментов времени. В непрерывной модели значения переменных состояния могут быть рассчитаны для любой точки t рассматриваемого интервала .

По характеру описания пространственного строения систем модели делятся на точечные, в которых пространственное строение системы не рассматривается, т. е. в качестве переменных фигурируют зависящие только от времени переменные и пространственные, в которых переменные зависят не только от времени, но и от пространственных координат.

Важное место среди методов моделирования занимает структурное представление процессов и явлений. Его мы будем называть структурным моделированием. В следующем параграфе мы рассмотрим сущность структурного моделирования и приведем пример структурно-логической модели.