2.2 Расчет трехфазных линейных электрических цепей переменного тока

В цепи, изображенной на рисунке 2.4, потребители трехфазного тока соединены звездой. Известно линейное напряжение Uл = 220 В и сопротивления фаз: RB = 12 Ом, RC = 8 Ом, XLB = 16 Ом, XCA = 25 Ом, XCC = 6 Ом. Определить исходя из данных:

1) сопротивление элементов схемы приемников;

2) фазные токи и ток в нейтральном проводе в номинальном режиме ;

3) построить совмещенные векторные диаграммы токов и напряжений ;

4) из векторных диаграмм векторно, а также аналитически найти ток в нейтральном проводе.

Рисунок 2.4 − Схема трехфазной линейной электрической цепи

переменного тока

Аналитический расчет трехфазных цепей будем производить символическим методом, т. е. в комплексной форме.

При соединении звездой , поэтому

В.

1. Выразим в комплексной форме фазные напряжения:

В;

В;

В;

2. Выразим сопротивления фаз в комплексной форме:

Ом,

где ZA = 25 Ом – полное сопротивление фазы А;

φ_А = -90° - угол сдвига фаз между током и напряжением в фазе A.

Аналогично определяем:

Ом,

где ZB = 20 Ом, φ_B = -53.1°;

Ом,

где ZC = 10 Ом, φ_C = -36.9°.

3. Находим комплексы фазных токов:

A,

модуль IA = 5.08 А, аргумент ψ_А = 90°;

A,

модуль IB = 6.35 А, аргумент ψ_B = -173.1°;

A,

модуль IC = 12.7 А, аргумент ψ_C = 156.9°.

4. Вычисляем ток в нейтральном проводе:

A,

модуль IN = 20.25 А, аргумент ψ_N = 152.6°.

5. Вычисляем мощности фаз и всей цепи:

В∙А,

где S_A = 645.16 B∙A; P_A = 0 Вт; Q_A = -645.16 вар;

В∙А,

где S_B = 806.45 B∙A; P_B = 483.87 Вт; Q_B = 645.16 вар;

В∙А,

где S_C = 1612.9 B∙A; P_C = 1290.32 Вт; Q_C = -967.74 вар;

B∙A,

где S = 2020.96 B∙A; P = 1774.19 Вт; Q = -967.74 вар.

6. Построим векторную диаграмму цепи. На векторной диаграмме под углом 120° друг относительно друга строятся векторы фазных напряжений одинаковой длины.

Векторы фазных токов строятся в масштабе под вычисленными углами φ по отношению к фазным напряжениям. В фазе А нагрузка носит индуктивный характер, значит, ток IA отстает от напряжения UA на угол φ_A = 90º. В фазе B нагрузка емкостная, следовательно, ток IB опережает напряжение UB на угол φ_B. В фазе C нагрузка носит резистивный характер, следовательно, ток IC совпадает с напряжением UC.

М_I = 4 А/см – масштаб тока; М_U = 40 B/см – масштаб напряжения.

см; см; см;

см; см; см.

Ток в нейтральном проводе равен геометрической (векторной) сумме фазных токов:

Рисунок 2.5 − Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений

на комплексной плоскости

3 Исследование переходных процессов в электрических цепях

Определить закон изменения тока и ЭДС самоиндукции в цепи. Определить практическую длительность переходного процесса и энергию магнитного поля при t = 3τ.

1. Устанавливаем переключатели в положение 1 (под включение катушки к источнику постоянного напряжения).

До замыкания переключателя в положение 1 ток в цепи был равен нулю. В первый момент после замыкания переключателя в положение 1, т.е. в момент начала переходного процесса (t = 0), ток в цепи будет таким же, как и в последний момент до начала коммутации, т. е. i₀ = 0.

После коммутаций ток стремится достигнуть величины установившегося тока (i_yст), но на основании первого закона коммутации изменяется не скачком, а постепенно.

Согласно схеме

A,

Чтобы найти закон изменения переходного тока, запишем уравнение в общем виде

В этой формуле

,

где i_св – свободная составляющая тока;

А – постоянная интегрирования;

е = 2.71 – основание натурального логарифма;

τ – постоянная времени переходного процесса,

, где R – величина сопротивления, через которое проходит переходный ток;

t — текущее время.

Определяем постоянную интегрирования, полагая t = 0, тогда уравнение примет вид:

, т.к. е⁰ = 1

Значит, А = i₀ – i_уст = 0 - I,

то есть А = -I

Запишем уравнение (закон изменения переходного тока) при включении катушки

;

В нашем случае

Находим постоянную времени переходного процесса

с.

Практическая длительность переходного процесса t = 5τ = 5∙0.01 = 0.5 с

Строим график переходного тока i = f(t), задавшись моментом времени t = 0, t = τ, t = 2 τ, t = 3τ, t = 4τ, t = 5τ.Данные расчета сведены в таблицу 3.1.

Таблица 3.1

t, c	0	τ	2τ	3τ	4τ	5τ
i, A	0	2.528	3.459	3.801	3.927	3.973

Закон изменения ЭДС самоиндукции можно получить из формулы

В нашем случае

Значения е для заданных значении времени сведены в таблицу 3.2.

Таблица 3.2

t, c	0	τ	2τ	3τ	4τ	5τ
eL, B	-100	-36.788	-13.534	-4.979	-1.832	-0.674

Согласно полученным результатам строим графики зарядного напряжения и тока в зависимости от τ (рисунок 3.1).

Из построенных графиков e_L(t) и i(t) можно для любого момента времени определить значения e_L и i.

Рисунок 3.1 − Графики зависимости u_C = f(t) и i = f(t)

Энергию магнитного поля при t = 3τ можно вычислить так:

Дж

2. Переключаем переключатель из положения 1 в положение 2 (отключаем катушку от источника постоянного напряжения при одновременном ее замыкании на сопротивление).

В этом случае мы отключаем цепь от источника и при переключении в положение 2 в образовавшемся контуре ток поддерживается за счет энергии, накопленной в магнитном поле катушки. Энергия магнитного поля непрерывно уменьшается, так как в активном соп ротивлении контура идет необратимый процесс превращения электрической энергии в тепловую.

В этом случае i_уст = 0, т.к. при отключении цепи от источника ток в цепи будет равен нулю.

Тогда

где с – постоянная времени переходного процесса.

Определим постоянную интегрирования, полагая t = 0, тогда уравнение примет вид:

, т.е. i₀ = A,

но А – согласно первому закону коммутации ток в первый момент коммутации будет таким, каким был в последний момент до коммутации.

Значит, А = 4 А, тогда А

Длительность переходного процесса

t = 5τ = 5∙0.01 = 0.05 с.

Строим график i=f(t) (рисунок 2.8), задавшись моментом времени t = 0, t = τ, t = 2 τ, t = 3τ, t = 4τ, t = 5τ. Данные расчета сведены в таблицу 3.3.

Таблица 3.3

t, c	0	τ	2τ	3τ	4τ	5τ
i, A	4	1.472	0.541	0.199	0.073	0.027

В соответствии с законом изменения ЭДС самоиндукции получим

В нашем случае

Строим график e_L = f(t), задавшись моментом времени t = 0, t = τ, t = 2 τ, t = 3τ, t = 4τ, t = 5τ. Данные расчета сведены в таблицу 3.4.

Таблица 3.4

t, c	0	τ	2τ	3τ	4τ	5τ
eL, B	100	36.788	13.534	4.979	1.832	0.674

Энергию магнитного поля в момент времени t = 3τ:

Дж

Рисунок 3.2 − График зависимости u_C = f(t) и i = f(t)

Заключение.

В данной курсовой работе был проведен анализ линейной электрической цепи постоянного тока, линейных электрических цепей переменного тока – однофазной и трехфазной, нелинейной электрической цепи постоянного тока, исследованы переходные процессы в цепи, содержащей емкость. В ходе работы были произведены расчеты параметров электрических цепей, проведена проверка результатов расчетов, построены векторные диаграммы токов и напряжений – для линейных цепей переменного тока, потенциальная диаграмма – для линейной цепи постоянного тока, произведен расчет нелинейной цепи графическим методом, приведены графики зависимостей тока и напряжения – при исследовании переходных процессов.

Литература.

1. Ф.Е. Евдокимов. Теоретические основы электротехники. - М.: “Высшая школа“, 1981 г.

2. В.С. Попов. Теоретическая электротехника. – М.: “Энергия”, 1978 г.

3. Ю.В. Буртаев, П.И. Овсянников. Теоретические основы электротехники. – М.: “Энергоатомиздат”, 1984 г.

4. Л.А. Частоедов. Электротехника. – М.: “Высшая школа”, 1984 г.

5. М.Ю. Зайчик. Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике. – М.: “Энергоатомиздат”, 1988 г.

6. Е.А. Лоторейчук. Теоретические основы электротехники. М.: “Высшая школа“, 2000.

7. Синдеев Ю.Г., Граховский В.Г. Электротехника, – М., 1999.

8. ГОСТ 21.101-93 Основные требования к рабочей документации

9. ГОСТ 2.105-95 Общие требования к текстовым документам.

10. Попов В.С. Теоретические основы электротехники. – Мн.: “Атомоэнергоиздат”, 1990.

11. Усатенко С.Т., Каченюк Т.К., Терехова М.В. Выполнение электрических схем по ЕСКД: Справочник. – М.: Издательство стандартов, 1989.

12. Шебес М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учебное пособие. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: “Высшая школа“, 1982.