1.1.2 Применение метода контурных токов.
Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на (n-1).
Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока – контурного тока, являющегося расчетной величиной.
В заданной цепи (рисунок 1.1) можно рассмотреть три контура-ячейки (ABDA, ACDA , BCDB) и ввести для них контурные токи IK1, IK2, IK3.
Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры – это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.
Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.
На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом контурных токов будет следующим:
стрелками указываем выбранные направления контурных токов IK1, IK2, IK3 в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;
составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.
I K1(R1 + r01 + R3 + R4) – IK2R3 – IK3R4 = -E1;
-IK1R3 + IK2(R2 + r02 + R3 +R5) – IK3R5 = -E2;
-IK1R4 – IK2R5 + IK3(R4 + R5 + R6) = 0;
П
одставляем
в уравнение численные значения ЭДС и
сопро
тивлений.
114∙IK1 – 32∙IK2 – 26∙IK3 = -20;
-32∙IK1 + 128∙IK2 – 51∙IK3 = -30;
-26∙IK1 – 51∙IK2 + 92∙IK3 = 0;
Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы ∆ и частные определители ∆1, ∆2, ∆3.
;
;
;
.
Вычисляем контурные токи:
A;
A;
A.
Действительные токи ветвей:
I1 = -IK1 = 0.399 A;
I2 = -IK2 = 0.487 A;
I3 = IK1 – IK2 = 0.087 A;
I4 = IK1 – IK3 = 0.017 A;
I5 = IK3 – IK2 = 0.104 A;
I6 = -IK3 = 0.383 A.
1.1.3 Применение метода наложения.
По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.
а) Определяем частные токи от ЭДС Е2 при отсутствии ЭДС Е1, т. е. рассчитываем цепь по рисунку 1.2. Решаем задачу методом «свертки».
Рисунок 1.2 − Схема линейной электрической цепи
постоянного тока без источника ЭДС E1.
R1,01 = R1 + r01 = 54 +2 = 56 Ом.
В заданной
элект
рической
цепи сопротивления R4,
R5
и R6
соединены в треугольник, который для
упрощения преобразуем в звезду.
Определяем сопротивления:
Ом;
Ом;
Ом;
R3,B = R3 + RB = 46.413 Ом;
R1,01,A = R1,01 + RA = 60.239 Ом;
Ом;
Rэ = R1,01,A,3,B + RC + R2 = 77.53 Ом;
Ток источника
А;
Вычисляем остальные токи ветвей:
А;
А;
А;
А;
А;
б) Определяем частные токи от ЭДС Е1 при отсутствии ЭДС Е2, т.е. рассчитываем простую цепь по рисунку 1.3. Решаем задачу методом «свертки».
R2,02 = R2 + r02 = 43 +2 = 45 Ом;
В заданной элект рической цепи сопротивления R4, R5 и R6 соединены в треугольник, который для упрощения преобразуем в звезду.
Рисунок 1.3 − Схема линейной электрической цепи
постоянного тока без источника ЭДС E2.
Определяем сопротивления:
Ом;
Ом;
Ом;
R3,B = R3 + RB = 46.413 Ом;
R2,02,C = R2,02 + RC = 53.315 Ом;
Ом;
Rэ = R2,02,C,3,B + RA + R1 = 83.052 Ом;
Ток источника
А;
Вычисляем остальные токи ветвей:
А;
А;
А;
А;
А;
Вычисляем токи ветвей исходной цепи (рисунок 1.1), выполняя алгебраическое сложение частных токов, учитывая их направление:
I1 = I’1 + I"1 = 0.164 + 0.235 = 0.399 A;
I2 = I’2 + I"2 = 0.377 + 0.109 = 0.486 A;
I3 = I’3 – I"3 = 0.213 – 0.126 = 0.087 A;
I4 = I"4 – I'4 = 0.108 – 0.091 = 0.017 A;
I5 = I’5 – I"5 = 0.122 – 0.018 = 0.104 A;
I6 = I’6 + I"6 = 0.255 + 0.127 = 0.382 A.