3.5. Визначення показників та середніх показників ряду динаміки. Вирівнювання рядів динаміки (рівняння тренда).

Всі явища суспільного життя знаходяться у неприривному розвитку. Зміна суспільних явищ в часі статистика вивчає за допомогою створення і аналізу ряду динаміки. Ряд даних, що характеризують зміну явищ у часі, називається рядом динаміки.

Кожний ряд динаміки складається з двох граф: одна вміщує періоди часу, друга числову характеристику явища чи ознаки.

Ряди динаміки можуть бути інтервальні і моментні. В інтервальном ряду данні характеризують стан явища за даний період часу. Ці дані можна сумувати і отримувати нові числові значення,що відносяться до більш довгих періодів часу. Моментний ряд динаміки складається з показників, що характеризують стан явища на конкретні моменти часу. Ці дані складати не можна, так як одиниці, які сумують послідовно повторюються в різних рівнях ряду, тому сума не буде мати ніякого змісту.

Показники ряду динаміки:

• Абсолютний приріст – показує наскільки в абсолютному виражені рівень звітного періоду більше рівня, прийнятого за базу:

П_т = У_і – У₀ (базисний);

Пі = У_і – У_і-1 (ланцюговий),

де У_і – рівень, що аналізуємо; У₀ – базисний рівень.

• Темп росту – показує в скільки разів збільшується чи зменшується аналізуємий рівень порівняно з базисним:

Тpt = (У_і / У₀ )*100%(базисний);

Тpі = (Уі / Уi-1)*100% – (ланцюговий).

• Темп приросту – показує наскільки % збільшується чи зменшується аналізуємий рівень порівняно з базисним:

Тпpt = Тpt - 100% (базисний);

Тпpі = Тpі – 100% (ланцюговий);

• Абсолютне значення 1 % приросту – показує вартість або ціну 1%:

А = Уо / 100.

Середні показники ряду динаміки:

• Середній рівень – середнє значення для всієї сукупності: = У_і /n.

• Середній абсолютний приріст – показує середнє абсолютне значення певної ознаки: = П_і / n .

• Середній темп росту – показує швидкість зміни рівні ряду за одиницю часу: р =

• Середній темп приросту – показує швидкість зміни ряду у % за одиницю часу: пp = p -100%

Для виявлення основної тенденції (тренда) ряду динаміки використаємо аналітичний метод аналізу. Необхідно підібрати теоретичне рівняння :

у = а_о+а₁*t;

д е а_о, а₁, t – параметри рівняння.

Необхідно та підібрати пряму у = а_о+а₁*t, щоб квадрат відхилень практичних значень ознаки від теоретичних значень був мінімальний:

(у_і – у)² min

Розв’яжемо систему рівнянь:

n a₀+a₁Уt=Уy;

a₀Уt+ a₁Уt²=Yyt,

де у – фактичні рівні ряду динаміки; п- число рівнів.

Далі в таблиці розраховуємо необхідні для розв`язання системи рівнянь суми: ∑ у, ∑ t, ∑ t², ∑ yt.

Можна скористатися й іншим, спрощеним способом.

Якщо початок розрахунку часу вести від середини періоду, що аналізується, тобто розрахунок часу вести від середини ряду, то система спрощується і набуває вигляду:

n a₀=∑y;

a₁ ∑t²= y ∑t,

Звідси: a_o = y/ n та a₁ =  yt / t²

Побудуємо допоміжну таблицю для розрахунку ряду динаміки:

Таблиця №13

Розрахунок показників рядів динаміки:

Дні	17.09.09	18.09.09	19.09.09	20.09.09	21.09.09	22.09.09
Продуктивність праці т/год	622	621	640	623	627	626

Визначимо показники ряду динаміки за продуктивністю праці. За базовий період приймемо 17.09.09:

1) Абсолютний приріст:

• базисний:

Пt_18.09.2009 = 621-622= -1 (т/год)- продуктивність праці зменшилась за 18.09.09 на 1 т/год порівняно з 17.09.09

Пt_19.09.2009 = 640-622= 18 (т/год)- продуктивність праці збільшилась за 19.09.04 на 18 т/год порівняно з 17.09.09

Пt_20.09.2009 = 623-622 = 1 (т/год)- продуктивність праці збільшилась за 20.09.09 на 1 т/год порівняно з 17.09.09

Пt_21.09.2009 = 627-622 = 5 (т/год)- продуктивність праці збільшилась за 21.09.09 на 5 т/год порівняно з 17.09.09

Пt_22.09.2009 = 626-622= 4 (т/год)- продуктивність праці збільшилась за 22.09.04 на 4 т/год порівняно з 17.09.09

• ланцюговий:

Пі_18.09.2009 = 621-622 = -1 (т/год)- продуктивність праці зменшилась за 18.09.09 на 1 т/год порівняно з 17.09.09

Пі_19.09.2009 = 640-621 = 19 (т/год)- продуктивність праці збільшилась за 19.09.09 на 19 т/год порівняно з 18.09.09

Пі_20.09.2009=623-640= -17 (т/год)- продуктивність праці зменшилась за 20.09.09 на 17 т/год порівняно з 19.09.09

Пі_21.09.2009= 627-623= 4 (т/год)- продуктивність праці збільшилась за 21.09.09 на 4 т/год порівняно з 20.09.09

Пі_22.09.2009 = 626-627= -1 (т/год)- продуктивність праці зменшилась за 22.09.09 на 1 т/год порівняно з 21.09.09

2) Темп росту:

• базисний:

Тpt _18.09.2009 = (621/622)*100%= 99%- продуктивність праці зменшилась за 18.09.09 в 0,99 раз (99%) порівняно з 17.09.09

Тpt _19.09.2009 = (640/622)*100%= 103%- продуктивність праці збільшилась за 19.09.09 в 1,03 раз (103%) порівняно з 17.09.09

Тpt _20.09.2009 = (623/622)*100%= 100,2%- продуктивність праці збільшилась за 20.09.09 в 1,002 (1,002%) раз порівняно з 17.09.09

Тpt _21.09.2009 = (627/622)*100%= 100,8%- продуктивність праці збільшилась за 21.09.09 в 1,008 раз (100,8%) порівняно з 17.09.09

Тpt _22.09.2009 = (626/622)*100%= 100,6%- продуктивність праці збільшилась за 22.09.09 в 1,006 раз (100,6%) порівняно з 17.09.09

• ланцюговий:

Трі_18.09.2009 = (621/622)*100% = 99% - продуктивність праці зменшилась за 18.09.09 в 0,99 раз (99%) порівняно з 17.09.09

Трі_19.09.2009 = (640/621)*100% =103%- продуктивність праці збільшилась за 19.09.09 в 1,03 раз (103%) порівняно з 18.09.09

Трі_20.09.2009 =(623/640)*100%= 97%- продуктивність праці зменшилась за 20.09.09 в 0,97 раз (97%) порівняно з 19.09.09

Трі_21.09.2009 = (627/623)*100%= 100,6% - продуктивність праці збільшилась за 21.09.09 в 1,006 раз (100,6%) порівняно з 20.09.09

Трі_22.09.2009 = (626/627)*100%= 99% - продуктивність праці зменшилась за 22.09.09 в 0,99 раз (99%) порівняно з 21.09.09

3)Темп приросту:

• базисний:

Тпрt _18.09.2009 = 99% – 100% = -1%- продуктивність праці зменшилась за 18.09.04 на 1% порівняно з 17.09.09

Тпрt _19.09.2009 = 103% – 100% = 3%- продуктивність праці збільшилась за 19.09.04 на 3% порівняно з 17.09.09

Тпрt _20.09.2009 = 100,2% – 100% = 0,2%- продуктивність праці збільшилась за 20.09.04 на 0,2% порівняно з 17.09.09

Тпрt _21.09.2009 = 100,8% – 100% = 0,8%- продуктивність праці збільшилась за 21.09.04 на 0,8% порівняно з 17.09.09

Тпрt _22.09.2009 = 100,6% – 100% = 0,6%- продуктивність праці збільшилась за 22.09.04 на 0,6% порівняно з 17.09.09

• ланцюговий:

Тпpі _18.09.2009 = 99%-100% = -1% - продуктивність праці зменшилась за 18.09.09 на 1% порівняно з 17.09.09

Тпрі_19.09.2009 = 103%-100% =3%- продуктивність праці збільшилась за 19.09.09 на 3% порівняно з 18.09.09

Тпрі_20.09.2009 =97%-100%= -3%- продуктивність праці зменшилась за 20.09.09 на 3% порівняно з 19.09.09

Тпрі_21.09.2009= 100,6%-100%= 0,6% - продуктивність праці збільшилась за 21.09.09 на 0,6% порівняно з 20.09.09

Тпрі_22.09.2009 = 99%-100%= -1% - продуктивність праці зменшилась за 22.09.09 на 1% порівняно з 21.09.09

4) Абсолютне значення 1% приросту:

А_17.09.2009 = 622 / 100% = 6,22(т/год)- вартість одного відсотка на 17.09.09 становить 6,22 т/год

А_18.09.2009 = 621 / 100% = 6,21(т/год)- вартість одного відсотка на 18.09.09 становить 6,21 т/год

А_19.09.2009 = 640 / 100% =6,4(т/год)- вартість одного відсотка на 19.09.09 становить 6,4 т/год

А_20.09.2009 = 623 / 100% = 6,23(т/год)- вартість одного відсотка на 20.09.09 становить 6,23 т/год

А_21.09.2009 = 627 / 100% = 6,27(т/год)- вартість одного відсотка на 21.09.09 становить 6,27 т/год

А_22.09.2009 = 626 / 100% = 6,26(т/год)- вартість одного відсотка на 22.09.09 становить 6,26 т/год

5) Середньоарифметична проста для рядів динаміки з рівними інтервалами:

У = (622+621+640+623+627+626)/6 = 626,5(т/год)

6) Середній абсолютний приріст :

=∑ Пі/n = (-1+19-17+4-1)/5 = 0,8 (т/год)– середній абсолютний приріст продуктивності праці становить 0,8 т/год

7) Середній темп зростання:

р = = (т/год)

8) Середній темп приросту:

пp = p -100%=99,7%-100%= 0,3%

Для виявлення основної тенденції ряду динаміки використаємо аналітичний метод аналізу і побудуємо допоміжну таблицю для розрахунку.

Таблиця №14

№ п/п	Y- продуктивність праці т/год	Умовна ознака часу,t	t2	Y*t	Y =626,5+35,96t
1	622	- 3	9	-866	518,6
2	621	- 2	4	-1242	554,6
3	640	- 1	1	-640	590,5
4	623	1	1	623	662,5
5	627	2	4	1254	698,4
6	626	3	9	1878	734,4
∑	3759	0	28	1007	3759

Розв’яжемо систему рівнянь:

n a₀=∑y;

a₁ ∑t²= y ∑t,

6 a₀=3759;

a₁*28=1007,

Звідси: a_o = 3759 / 6 = 626,6

a₁ = 1007 /28 = 35,96,

звідси шукане рівняння тренда: у = 626,5 + 35,96t;

Результати проведеного аналітичного згладжування ряду динаміки продуктивності праці за 6 днів і фактичні дані покажемо на графіку:

Рис.10 Динаміка зміни продуктивності праці

При згладжені графіку динаміки зміни продуктивності праці простежується тенденція до її зростання на протязі всього проміжку часу.

Побудуємо допоміжну таблицю для розрахунку ряду динаміки:

Таблиця №15

Розрахунок показників рядів динаміки:

Дні	17.09.09	18.09.09	19.09.09	20.09.09	21.09.09	22.09.09
Час у русі Год	198	188	198	200	189	193

Визначимо показники ряду динаміки за часом у русі. За базовий період приймемо 17.09.09:

1) Абсолютний приріст:

• базисний:

Пt_18.09.2009 = 188-198= -10 (год)- час у русі зменшився за 18.09.09 на 10 год порівняно з 17.09.09

Пt_19.09.2009 = 198-198= 0 (год)- час у русі не змінився за 19.09.04 порівняно з 17.09.09

Пt_20.09.2009 = 200-198= 2 (год)- час у русі збільшився за 20.09.09 на 2 год порівняно з 17.09.09

Пt_21.09.2009 = 189-198= -9 (год)- час у русі зменшився за 21.09.09 на 9 год порівняно з 17.09.09

Пt_22.09.2009 = 193-198= -5 (год)- час у русізменшився за 22.09.04 на 5 год порівняно з 17.09.09

• ланцюговий:

Пі_18.09.2009 = 188-198= -10 (год)- час у русі зменшився за 18.09.09 на 10 год порівняно з 17.09.09

Пі_19.09.2009 = 198-188 = 10 (год)- час урусі збільшився за 19.09.09 на 10 год порівняно з 18.09.09

Пі_20.09.2009=200-198= 2 (год)- час у русі збільшився за 20.09.09 на 2 год порівняно з 19.09.09

Пі_21.09.2009= 189-200= -11 (год)- час у русі зменшився за 21.09.09 на 11 год порівняно з 20.09.09

Пі_22.09.2009 = 193-189= 4 (год)- час у русі збільшився за 22.09.09 на 4 год порівняно з 21.09.09

2) Темп росту:

• базисний:

Тpt _18.09.2009 = (188/198)*100%= 94,9%- час у русі зменшився за 18.09.09 в 0,949 раз (94,9%) порівняно з 17.09.09

Тpt _19.09.2009 = (198/198)*100%= 100%- час у русі не змінився за 19.09.09 порівняно з 17.09.09

Тpt _20.09.2009 = (200/198)*100%= 101%- час у русі збільшився за 20.09.09 в 1,01 раз (101%) раз порівняно з 17.09.09

Тpt _21.09.2009 = (189/198)*100%= 95%- час у русі зменшився за 21.09.09 в 0,95 раз (95%) порівняно з 17.09.09

Тpt _22.09.2009 = (193/198)*100%= 97%- час у русі зменшився за 22.09.09 в 0,97 раз (97%) порівняно з 17.09.09

• ланцюговий:

Трі_18.09.2009 = (188/198)*100% = 94,9% - час у русі зменшився за 18.09.09 в 0,949 раз (94,9%) порівняно з 17.09.09

Трі_19.09.2009 = (198/188)*100% =105%- час у русі збільшився за 19.09.09 в 1,05 раз (105%) порівняно з 18.09.09

Трі_20.09.2009 =(200/198)*100%= 101%- час у русі збільшився за 20.09.09 в 1,01 раз (101%) порівняно з 19.09.09

Трі_21.09.2009 = (189/200)*100%= 94% - час у русі зменшився за 21.09.09 в 0,94 раз (94%) порівняно з 20.09.09

Трі_22.09.2009 = (193/189)*100%= 102% - час у русі збільшився за 22.09.09 в 1,02 раз (102%) порівняно з 21.09.09

3)Темп приросту:

• базисний:

Тпрt _18.09.2009 = 94,9% – 100% = -5,1%- час у русі зменшився за 18.09.04 на 5,1% порівняно з 17.09.09

Тпрt _19.09.2009 = 100% – 100% = 0%- час у русі не змінився за 19.09.04 порівняно з 17.09.09

Тпрt _20.09.2009 = 101% – 100% = 1%- час у русі збільшився за 20.09.04 на 1% порівняно з 17.09.09

Тпрt _21.09.2009 = 95% – 100% = -5%- час у русі зменшився за 21.09.04 на 5% порівняно з 17.09.09

Тпрt _22.09.2009 = 97% – 100% = -3%- час у русі зменшився за 22.09.04 на 3% порівняно з 17.09.09

• ланцюговий:

Тпpі _18.09.2009 = 94,9%-100% = -5,1% - час у русі зменшився за 18.09.09 на 5,1% порівняно з 17.09.09

Тпрі_19.09.2009 = 105%-100% =5%- час у русі збільшився за 19.09.09 на 5% порівняно з 18.09.09

Тпрі_20.09.2009 =101%-100%= 1%- час у русі збільшився за 20.09.09 на 1% порівняно з 19.09.09

Тпрі_21.09.2009= 94%-100%= -6% - час у русі зменшився за 21.09.09 на 6% порівняно з 20.09.09

Тпрі_22.09.2009 = 102%-100%= 2% - час у русі збільшився за 22.09.09 на 2% порівняно з 21.09.09

4) Абсолютне значення 1% приросту:

А_17.09.2009 = 198 / 100% = 1,98 (год)- вартість одного відсотка на 17.09.09 становить 1,98 год

А_18.09.2009 = 188 / 100% = 1,88 (год)- вартість одного відсотка на 18.09.09 становить 1,88 год

А_19.09.2009 = 198 / 100% =1,98 (год)- вартість одного відсотка на 19.09.09 становить 1,98 год

А_20.09.2009 = 200 / 100% = 2 (год)- вартість одного відсотка на 20.09.09 становить 2 год

А_21.09.2009 = 189 / 100% = 1,89 (год)- вартість одного відсотка на 21.09.09 становить 1,89 год

А_22.09.2009 = 193 / 100% = 1,93 (год)- вартість одного відсотка на 22.09.09 становить 1,93 год

5) Середньоарифметична проста для рядів динаміки з рівними інтервалами:

У = (198+188+198+200+189+193)/6 = 194,3 (год)

6) Середній абсолютний приріст :

=∑ Пі/n = (-10+10+2-11+4)/5 = -1(год) – середній абсолютний приріст часу у русі становить -1 год

7) Середній темп зростання:

р = = (год)

8) Середній темп приросту:

пp = p -100%=99,3%-100%= -0,7%

Для виявлення основної тенденції ряду динаміки використаємо аналітичний метод аналізу і побудуємо допоміжну таблицю для розрахунку.

Таблиця №16

№ п/п	Y- час у русі год	Умовна ознака часу,t	t2	Y*t	Y =194,3+0,4t
1	198	- 3	9	-594	193,1
2	188	- 2	4	-376	193,5
3	198	- 1	1	-198	193,9
4	200	1	1	200	194,7
5	189	2	4	378	195,1
6	193	3	9	579	195,5
∑	1166	0	28	-11	1165,8

Розв’яжемо систему рівнянь:

n a₀=∑y;

a₁ ∑t²= y ∑t,

6 a₀=1166;

a₁*28=-11,

Звідси: a_o = 1166 / 6 = 194,3

a₁ = -11 /28 = 0,4 , звідси шукане рівняння тренда:

у = 194,3 + 0,4t;

Результати проведеного аналітичного згладжування ряду динаміки часу у русі за 6 днів і фактичні дані покажемо на графіку:

Рис.10 Динаміка зміни часу у русі (год)